X/(x-1)≥2

Для решения неравенства \( \frac{x}{x-1} \geq 2 \), давайте сначала перепишем его в более удобной форме. Мы можем начать с вычитания 2 из обеих частей:

\[ \frac{x}{x-1} - 2 \geq 0 \]

Теперь приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{x - 2(x-1)}{x-1} \geq 0 \]

Упрощаем числитель:

\[ \frac{x - 2x + 2}{x-1} \geq 0 \]

Это превращается в:

\[ \frac{-x + 2}{x-1} \geq 0 \]

Или, что эквивалентно:

\[ \frac{2 - x}{x-1} \geq 0 \]

Теперь нам нужно найти, когда дробь положительна или равна нулю. Для этого определим нули числителя и знаменателя.

Числитель \(2 - x = 0\) дает \(x = 2\).

Знаменатель \(x - 1 = 0\) дает \(x = 1\). Но в этой точке значение выражения не определено.

Теперь рассмотрим интервалы, которые определяются этими значениями: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \), и \( (2, +\infty) \).

1. На интервале \( (-\infty, 1) \): Попробуем, например, \(x = 0\): \[ \frac{2 - 0}{0 - 1} = \frac{2}{-1} < 0 \quad (\text{отрицательно}) \]

2. На интервале \( (1, 2) \): Попробуем \(x = 1.5\): \[ \frac{2 - 1.5}{1.5 - 1} = \frac{0.5}{0.5} > 0 \quad (\text{положительно}) \]

3. На интервале \( (2, +\infty) \): Попробуем \(x = 3\): \[ \frac{2 - 3}{3 - 1} = \frac{-1}{2} < 0 \quad (\text{отрицательно}) \]

Теперь объединим результаты. Мы видим, что выражение положительно на интервале \( (1, 2) \).

Также учитываем, что в точке \(x = 2\) дробь равна нулю, что удовлетворяет условию неравенства.

Поэтому итоговое решение для неравенства \( \frac{x}{x-1} \geq 2 \) будет:

\[ x \in [2, +\infty) \quad \text{или} \quad x \in (1, 2] \]

В итоге, решение неравенства:

\[ x \in (1, 2] \cup [2, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше разъяснений, не стесняйтесь спрашивать!