Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6 400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 3 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Определим текущую скорость спускаемого аппарата.
На высоте около 400 км скорость космического аппарата на низкой орбите Земли может приблизительно составлять около 7.9 км/с. Мы будем использовать это значение как исходную скорость \( v_0 \).Вычислим 1% от текущей скорости.
Для уменьшения скорости на 1%: \[ \Delta v = 0.01 \cdot v_0 = 0.01 \cdot 7900 \, \text{м/с} = 79 \, \text{м/с} \]Определим массу сгоревшего топлива.
Используем закон сохранения импульса и уравнение ракетного движения, которое звучит как: \[ \Delta v = v_{e} \cdot \ln\left(\frac{m_{0}}{m_{f}}\right) \] где:
- \( \Delta v \) — изменение скорости,
- \( v_{e} \) — скорость истечения газов (в данном случае 3 км/с или 3000 м/с),
- \( m_{0} \) — начальная масса (2900 кг),
- \( m_{f} \) — конечная масса.
Пусть \( m_{g} \) — масса сгоревшего топлива: \[ m_{f} = m_{0} - m_{g} \]
Теперь подставим это в уравнение: \[ \Delta v = v_{e} \cdot \ln\left(\frac{m_{0}}{m_{0} - m_{g}}\right) \]
Теперь можем выразить массу сгоревшего топлива: \[ 79 = 3000 \cdot \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_{g}}\right) \]
- Решим это уравнение для \( m_{g} \): \[ \frac{79}{3000} = \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_{g}}\right) \]
Находим значение: \[ \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_{g}}\right) \approx 0.0263 \]
Теперь возводим в экспоненту: \[ \frac{2900}{2900 - m_{g}} \approx e^{0.0263} \approx 1.0267 \]
Крест-накрест: \[ 2900 \approx 1.0267 \cdot (2900 - m_{g}) \]
Раскроем скобки и упрощаем: \[ 2900 \approx 2900.16 - 1.0267 \cdot m_{g} \]
Таким образом, мы можем выразить массу топлива: \[ 1.0267 \cdot m_{g} \approx 2900.16 - 2900, \] \[ 1.0267 \cdot m_{g} \approx 0.16, \] \[ m_{g} \approx \frac{0.16}{1.0267} \approx 0.155 \, \text{кг}. \]
- Округлим до десятых: \[ m_{g} \approx 0.2 \, \text{кг}. \]
Таким образом, масса сгоревшего топлива должна составить 0.2 кг.
