делится ли произведение 49⁴×6² : а) на 14; б) на 42? обоснуйте свой ответ.
Чтобы понять, делится ли произведение \( 49^4 \times 6^2 \) на 14 и 42, мы сначала разберёмся в числах, на которые проверяем делимость.
1. Делимость на 14
Число 14 можно разложить на множители: \[ 14 = 2 \times 7 \]
Теперь проверим, содержатся ли в \( 49^4 \times 6^2 \) эти множители.
a) Разложим \( 49^4 \) и \( 6^2 \):
\( 49 = 7^2 \), значит: \[ 49^4 = (7^2)^4 = 7^8 \]
\( 6 = 2 \times 3 \), значит: \[ 6^2 = (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 \]
Теперь комбинируем: \[ 49^4 \times 6^2 = 7^8 \times (2^2 \times 3^2) = 2^2 \times 3^2 \times 7^8 \]
Теперь проверим наличие множителей \( 2 \) и \( 7 \):
- У нас есть \( 2^2 \) (то есть два фактора 2), следовательно, число делится на 2.
- У нас есть \( 7^8 \) (то есть восемь факторов 7), поэтому число делится на 7.
Таким образом, \( 49^4 \times 6^2 \) делится на 14.
2. Делимость на 42
Число 42 можно разложить на множители: \[ 42 = 2 \times 3 \times 7 \]
Теперь снова используем полученные ранее разложения для проверки делимости на 42.
Проведем аналогичный анализ:
- У нас есть \( 2^2 \) (именно один множитель 2).
- У нас есть \( 3^2 \) (именно два множителя 3).
- У нас есть \( 7^8 \) (именно восемь множителей 7).
Теперь проверим наличие всех множителей из разложения 42:
- 2: есть, так как \( 2^2 \) присутствует.
- 3: есть, так как \( 3^2 \) присутствует.
- 7: есть, так как \( 7^8 \) присутствует.
Таким образом, \( 49^4 \times 6^2 \) делится на 42.
Вывод
- \( 49^4 \times 6^2 \) делится на 14 и на 42.
