Найдите все возможные значения пара метра а, при которых уравнение имеет два корня, один из которых в три раза больше другого: 4|х-2|=2a+7

Давайте решим данное уравнение. У нас есть уравнение:

\[ 4 | x - 2 | = 2a + 7. \]

Сначала упростим его, разделив обе стороны на 4:

\[ | x - 2 | = \frac{2a + 7}{4}. \]

Обозначим правую часть как \( k \):

\[ k = \frac{2a + 7}{4}. \]

Теперь у нас есть два случая для модульного уравнения \( | x - 2 | = k \):

1. \( x - 2 = k \)
2. \( x - 2 = -k \)

Решая это для каждого случая, мы получаем:

1. \( x = k + 2 \)
2. \( x = -k + 2 \)

Теперь подставим \( k \):

1. \( x_1 = \frac{2a + 7}{4} + 2 = \frac{2a + 7 + 8}{4} = \frac{2a + 15}{4} \)
2. \( x_2 = -\frac{2a + 7}{4} + 2 = 2 - \frac{2a + 7}{4} = \frac{8 - 2a - 7}{4} = \frac{1 - 2a}{4} \)

У нас есть два корня:

\[ x_1 = \frac{2a + 15}{4}, \] \[ x_2 = \frac{1 - 2a}{4}. \]

Также по условию задачи один корень в три раза больше другого. Обозначим это так:

\[ x_1 = 3x_2. \]

Подставим выражения для \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ \frac{2a + 15}{4} = 3 \cdot \frac{1 - 2a}{4}. \]

Упрощая, мы можем убрать дробь, умножив обе стороны на 4:

\[ 2a + 15 = 3(1 - 2a). \]

Раскроем скобки:

\[ 2a + 15 = 3 - 6a. \]

Теперь соберем все \( a \) с одной стороны:

\[ 2a + 6a = 3 - 15, \] \[ 8a = -12. \]

Теперь решим уравнение для \( a \):

\[ a = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}. \]

Таким образом, единственное значение \( a \), при котором уравнение имеет два корня, один из которых в три раза больше другого, равно:

\[ a = -\frac{3}{2}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!