Докажите что вырожения x²+(x-1)² имеет только положительное значение

Чтобы доказать, что выражение \(x^2 + (x - 1)^2\) имеет только положительные значения, начнем с его упрощения.

1. Раскроем скобки в выражении: \[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \] Поэтому: \[ x^2 + (x - 1)^2 = x^2 + (x^2 - 2x + 1) \]

2. Теперь объединим подобные члены: \[ x^2 + x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 2x + 1 \]

3. Далее, мы можем упростить это выражение: \[ 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1 \]

4. Чтобы продемонстрировать, что это выражение всегда положительно, мы рассмотрим его дискриминант. Для квадратного уравнения \(2x^2 - 2x + 1\) дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 \]

   Так как дискриминант \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола, соответствующая этому квадратному уравнению, не пересекает ось \(x\) и лежит полностью над осью \(x\).

5. Кроме того, коэффициент при \(x^2\) (то есть 2) положителен, что говорит о том, что парабола открыта вверх.

Таким образом, мы доказываем, что выражение \(x^2 + (x - 1)^2\) всегда положительно для всех значений \(x\).

Всегда можно подставить любое значение \(x\) и увидите, что результат будет больше нуля. Например, для \(x = 0\): \[ 0^2 + (0 - 1)^2 = 0 + 1 = 1 > 0 \]

Для любого \(x\) мы получаем положительное значение.