X^6-x^4+5x^2-5=0
Чтобы решить уравнение \(x^6 - x^4 + 5x^2 - 5 = 0\), можно сделать замену переменной. Давайте обозначим \(y = x^2\). Тогда уравнение можно переписать как:
\[y^3 - y^2 + 5y - 5 = 0\]
Теперь нам нужно найти корни этого кубического уравнения. Для этого можно воспользоваться методом подбора или применить теорему Виета.
Попробуем подобрать целые корни с помощью замены \(y = 1\) и \(y = -1\):
Подставим \(y = 1\): \[1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1 - 5 = 1 - 1 + 5 - 5 = 0\]
Значит, \(y = 1\) является корнем уравнения.
Теперь разделим полином \(y^3 - y^2 + 5y - 5\) на \(y - 1\) с помощью синтетического деления или long division. Получим:
\[ y^3 - y^2 + 5y - 5 = (y - 1)(y^2 + 5) \]
Так что уравнение можно переписать как:
\[(y - 1)(y^2 + 5) = 0\]
Теперь решим каждую часть:
- \(y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1\)
- \(y^2 + 5 = 0\)
Для второго уравнения получаем:
\[y^2 = -5\]
Это даёт комплексные корни:
\[y = i\sqrt{5}, \, y = -i\sqrt{5}\]
Теперь вспомним, что \(y = x^2\), поэтому возвращаемся к \(x\):
- Если \(y = 1\), то \(x^2 = 1\), что даёт \(x = 1\) и \(x = -1\).
- Если \(y = i\sqrt{5}\), то \(x^2 = i\sqrt{5}\), что даёт два комплексных корня \(x = \sqrt{i\sqrt{5}}\) и \(x = -\sqrt{i\sqrt{5}}\).
- Если \(y = -i\sqrt{5}\), то \(x^2 = -i\sqrt{5}\), что даёт два других комплексных корня.
Таким образом, у уравнения \(x^6 - x^4 + 5x^2 - 5 = 0\) есть два действительных корня: \(x = 1\) и \(x = -1\), а также четыре комплексных корня.
