Сколько пар целых чисел удовлетворяют системе неравенств {y≤−x2,y≥4?

Чтобы определить, сколько пар целых чисел удовлетворяют системе неравенств

\[ \begin{cases} y \leq -x^2 \\ y \geq 4 \end{cases} \]

начнем с анализа каждого неравенства.

1. Первое неравенство \(y \leq -x^2\) описывает область, находящуюся ниже или на параболе, направленной вниз. Значение \(y\) для любого \(x\) будет равно максимуму \(-x^2\), что означает, что \(y\) не может принимать значения выше этой параболы.

2. Второе неравенство \(y \geq 4\) показывает, что \(y\) должно быть не меньше 4.

Теперь рассмотрим пересечение этих двух областей. Чтобы существовали такие точки, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям, нужно, чтобы \(-x^2\) было не меньше 4:

\[ -x^2 \leq 4 \]

или

\[ x^2 \geq -4 \]

Это неравенство верно для всех \(x\), так как \(x^2\) всегда неотрицательно. Однако посмотрим, что происходит, если мы равноценим оба неравенства:

\[ -y = x^2 \leq 4 \implies y \leq -4 \]

Теперь, чтобы удовлетворить условиям системы, \(y\) должно быть одновременно \(\leq -4\) и \(\geq 4\). Это невозможно, так как не существует чисел, которые одновременно больше или равны 4 и меньше или равны -4.

Следовательно, системы неравенств не имеет решений в целых числах.

Итак, количество пар целых чисел, удовлетворяющих этой системе неравенств, равно 0.