На промежутке [-7,2;6,8] случайным образом выбирают точку х. Какова вероятность того, что х/2 +3,5≥2,5?
Для решения этой задачи начнем с неравенства, которое необходимо решить:
\[ \frac{x}{2} + 3.5 \geq 2.5 \]
Первым шагом будет преобразование неравенства. Для этого вычтем 3.5 из обеих сторон:
\[ \frac{x}{2} \geq 2.5 - 3.5 \] \[ \frac{x}{2} \geq -1 \]
Теперь умножим обе стороны неравенства на 2 (при умножении на положительное число неравенство не меняет своего направления):
\[ x \geq -2 \]
Теперь мы знаем, что x должно быть больше или равно -2. Теперь давайте определим промежуток, на котором мы ищем значения x. По условию задачи x выбирается из промежутка \([-7, 2] \cup [6, 8]\).
Теперь определим, какие значения x соответствуют нашему решенному неравенству (\(x \geq -2\)) в заданных промежутках.
- В первом промежутке \([-7, 2]\):
Здесь x может принимать значения от -7 до 2. Соответственно, применяя наше ограничение \(x \geq -2\), получаем, что: \[ x \in [-2, 2] \]
- Во втором промежутке \([6, 8]\):
Здесь все значения больше -2, так что этот промежуток полностью удовлетворяет нашему неравенству.
Теперь посчитаем длины промежутков:
- Длина первого промежутка \([-2, 2]\) составляет \(2 - (-2) = 4\).
- Длина второго промежутка \([6, 8]\) составляет \(8 - 6 = 2\).
Теперь суммируем длины этих двух промежутков, которые удовлетворяют неравенству:
\[ 4 + 2 = 6 \]
Теперь найдем общую длину исходного интервала \([-7, 2] \cup [6, 8]\):
- Длина интервала \([-7, 2]\) составляет \(2 - (-7) = 9\).
- Длина интервала \([6, 8]\) составляет \(8 - 6 = 2\).
Общая длина интервалов:
\[ 9 + 2 = 11 \]
Теперь мы можем найти вероятность того, что x удовлетворяет нашему неравенству \(x \geq -2\):
\[ P = \frac{\text{длина удовлетворяющего интервала}}{\text{общая длина интервала}} = \frac{6}{11} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное значение \(x\) удовлетворяет неравенству \(\frac{x}{2} + 3.5 \geq 2.5\), равна \(\frac{6}{11}\).
