Начерти окружность с центром  O O и  r = 4 r=4 см. Затем построй фигуру, в которую эта окружность переходит при гомотетии с центром в точке  E E, если точка  E E принадлежит данной окружности, а  k = 1 4 k= 4 1 . Сколько общих касательных будет у данной окружности и получившейся фигуры?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем каждый шаг.

1. Начертить окружность:

   • Сначала нужно нарисовать окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( r = 4 \) см. Для этого возьмите циркуль, установите одну его ножку в точке \( O \), а другую на расстоянии 4 см, и проведите окружность.

2. Определение точки \( E \):

   • Убедитесь, что точка \( E \) находится на окружности. Поскольку \( E \) принадлежит окружности, это означает, что расстояние от точки \( O \) до точки \( E \) также равно 4 см.

3. Гомотетия:

   • Гомотетия с центром в точке \( E \) и коэффициентом \( k = \frac{1}{4} \) означает, что все точки окружности будут перемещены по направлению к точке \( E \) и уменьшены в 4 раза.
   • При этом радиус новой окружности будет равен радиусу исходной окружности, умноженному на \( k \): \[ r' = k \cdot r = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \text{ см.} \]

4. Построение новой окружности:

   • Теперь необходимо нарисовать новую окружность с центром в точке \( E \) и радиусом \( r' = 1 \) см. Таким образом, у вас будет две окружности: одна с радиусом 4 см и другая с радиусом 1 см.

5. Количество общих касательных:

   • Чтобы определить количество общих касательных, нужно учесть, что:
     • Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то будет 4 общие касательные.
     • Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то будет 3 общие касательные.
     • Если расстояние меньше суммы радиусов, но больше разности, будет 2 общие касательные.
     • Если расстояние равно разности радиусов, будет 1 касательная.
     • Если окружности совпадают, то касательных будет бесконечно много.
     • Если окружности не пересекаются, то касательных не будет.

   В вашем случае расстояние между центрами \( O \) и \( E \) равно радиусу 4 см (так как \( E \) принадлежит окружности), а разница радиусов \( 4 - 1 = 3 \) см. Поскольку расстояние между центрами окружностей (4 см) больше разности (3 см) и меньше суммы радиусов (4 + 1 = 5 см), то у двух окружностей будет 2 общие касательные.

Таким образом, у данной окружности и получившейся фигуры будет 2 общие касательные.