Некоторая охранная система генерирует пароли по правилу:они состоят из четырёх цифр, причём такими образом, что первая цифра равна сумме трёх других.Сколько всего возможных…

Для решения этой задачи, давайте разберём условие по частям. Пароль состоит из четырёх цифр. Обозначим их как \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), где:

• \(a\) – первая цифра,
• \(b\), \(c\) и \(d\) – остальные три цифры.

Согласно условию, первая цифра равна сумме трёх других: \[ a = b + c + d \]

Так как цифры могут принимать значения от 0 до 9, для того чтобы соответствовать этому правилу, необходимо рассмотреть все случаи, когда сумма \(b + c + d\) не превышает 9, поскольку \(a\) тоже должна быть цифрой.

Теперь давайте посчитаем, скольким образом можно выбрать \(b\), \(c\) и \(d\) для каждой возможной цифры \(a\) от 0 до 9.

1. Для \(a = 0\): \(b + c + d = 0\)
   Единственный вариант: \(b = 0, c = 0, d = 0\).
   Количество комбинаций: 1.

2. Для \(a = 1\): \(b + c + d = 1\)
   Возможные комбинации: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
   Количество комбинаций: 3.

3. Для \(a = 2\): \(b + c + d = 2\)
   Возможные комбинации: (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1).
   Количество комбинаций: 6.

4. Для \(a = 3\): \(b + c + d = 3\)
   Возможные комбинации: (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3), (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,0,2), (0,2,1), (0,1,2), (1,1,1).
   Количество комбинаций: 10.

5. Для \(a = 4\): \(b + c + d = 4\)
   Возможные комбинации: (4,0,0), (0,4,0), (0,0,4), (3,1,0), (3,0,1), (1,3,0), (1,0,3), (0,3,1), (0,1,3), (2,2,0), (2,0,2), (0,2,2), (2,1,1), (1,1,2), (1,2,1).
   Количество комбинаций: 15.

6. Для \(a = 5\): \(b + c + d = 5\)
   Количество комбинаций: 21.

7. Для \(a = 6\): \(b + c + d = 6\)
   Количество комбинаций: 28.

8. Для \(a = 7\): \(b + c + d = 7\)
   Количество комбинаций: 36.

9. Для \(a = 8\): \(b + c + d = 8\)
   Количество комбинаций: 45.

10. Для \(a = 9\): \(b + c + d = 9\)
    Количество комбинаций: 55.

Теперь складываем все количество комбинаций для всех значений \(a\) от 0 до 9:

\[ 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 = 220 \]

Таким образом, всего возможных паролей, которые может сгенерировать система, равно 220.