решить 1. {x^2+2y=6 {y=x-1 2. {x=y-2 {xy-y=10
Давайте решим обе системы уравнений по очереди.
Решение первой системы:
- \( x^2 + 2y = 6 \)
- \( y = x - 1 \)
Сначала подставим второе уравнение во первое:
\[ x^2 + 2(x - 1) = 6 \]
Теперь упростим:
\[ x^2 + 2x - 2 = 6 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Мы знаем, что для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1, b = 2, c = -8 \):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Теперь находим корни:
- \( x_1 = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \)
Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):
Для \( x_1 = 2 \):
\[ y = x - 1 = 2 - 1 = 1 \]
Для \( x_2 = -4 \):
\[ y = -4 - 1 = -5 \]
Таким образом, решения первой системы:
\[ (2, 1) \quad \text{и} \quad (-4, -5) \]
Решение второй системы:
- \( x = y - 2 \)
- \( xy - y = 10 \)
Подставим первое уравнение во второе:
\[ (y - 2)y - y = 10 \]
Упростим уравнение:
\[ y^2 - 2y - y = 10 \]
Получаем:
\[ y^2 - 3y - 10 = 0 \]
Теперь снова найдем дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
Корни уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{2} \]
Находим корни:
- \( y_1 = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( y_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)
Теперь подставим значения \( y \) обратно, чтобы найти \( x \):
Для \( y_1 = 5 \):
\[ x = 5 - 2 = 3 \]
Для \( y_2 = -2 \):
\[ x = -2 - 2 = -4 \]
Таким образом, решения второй системы:
\[ (3, 5) \quad \text{и} \quad (-4, -2) \]
Итоговые результаты:
- Для первой системы: \( (2, 1) \) и \( (-4, -5) \)
- Для второй системы: \( (3, 5) \) и \( (-4, -2) \)
Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
