Колебательный контур радиоприемника состоит из конденсатора емкостью 1000 пф и катушки индуктивностью 50мкГн. Чему равен период собственных колебаний в контуре? Во сколько раз…

Для вычисления периода собственных колебаний колебательного контура, состоящего из конденсатора и катушки индуктивности, можно использовать формулу:

\[ T = 2\pi \sqrt{L C} \]

где:

• \( T \) — период колебаний,
• \( L \) — индуктивность катушки (в Генри),
• \( C \) — емкость конденсатора (в Фарадах).

Даны значения:

• \( C = 1000 \, \text{пФ} = 1000 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф} = 10^{-9} \, \text{Ф} \)
• \( L = 50 \, \text{мкГн} = 50 \cdot 10^{-6} \, \text{Гн} = 5 \cdot 10^{-5} \, \text{Гн} \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ T = 2\pi \sqrt{5 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-9}} = 2\pi \sqrt{5 \cdot 10^{-14}} \]

Сначала найдем \(\sqrt{5}\), а затем \(\sqrt{10^{-14}}\):

\[ \sqrt{5} \approx 2.236 \] \[ \sqrt{10^{-14}} = 10^{-7} \]

Теперь подставим это обратно в выражение для \(T\):

\[ T \approx 2\pi \cdot 2.236 \cdot 10^{-7} \]

Приблизительно:

\[ T \approx 2\cdot 3.14 \cdot 2.236 \cdot 10^{-7} \approx 14.0 \cdot 10^{-7} \approx 1.4 \cdot 10^{-6} \text{ секунды } \]

Теперь, чтобы выяснить, насколько нужно изменить индуктивность \(L\), чтобы период уменьшился в 2 раза, будем использовать следующую формулу:

\[ T' = \frac{T}{2} \implies \frac{T'}{T} = \frac{1}{2} \]

Поскольку \[ T \propto \sqrt{L}, \]

то имеем:

\[ \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{L'}{L}} \implies \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{L'}{L}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{L'}{L} \]

Таким образом:

\[ \frac{1}{4} = \frac{L'}{L} \implies L' = \frac{L}{4} \]

Итак, необходимо уменьшить индуктивность катушки в 4 раза, чтобы период собственных колебаний уменьшился в 2 раза.