Двум малярам Диме и Олегу поручили выкрасить фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил…
Двум малярам Диме и Олегу поручили выкрасить фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил фасад вручную. Известно, что Дима красит краскопультом в три раза быстрее, чем Олег вручную. Через некоторое время они одновременно поменяли способ покраски: Дима стал красить вручную, а Олег краскопультом. При этом производительность каждого изменилась в два раза: у Олега увеличилась в два раза, а у Димы уменьшилась. Покраску своей части фасада они закончили одновременно. Сколько квадратных метров покрасил краскопультом Дима, если весь фасад дома составляет 300 м2?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Изучим данные.
- Общая площадь фасада: 300 м².
- Дима красит краскопультом в 3 раза быстрее, чем Олег вручную.
- Они разделили фасад на две равные части, то есть каждому маляру достается по 150 м².
Обозначим скорости покраски.
- Пусть скорость покраски Олега вручную составляет \( v \) м²/ч.
- Тогда скорость Димы с краскопультом будет \( 3v \) м²/ч.
Пусть он работает время \( t_1 \).
- За это время Дима покрасит: \( 3v \cdot t_1 \) м².
- Олег покрасит: \( v \cdot t_1 \) м².
Сразу после этого они меняются инструментами.
- Теперь Дима красит вручную, а Олег краскопультом. У Димы скорость становится \( \frac{v}{3} \), а у Олега — \( 2v \).
Пусть они работают еще \( t_2 \) часов.
- За это время Дима покрасит: \( \frac{v}{3} \cdot t_2 \) м²,
- Олег покрасит: \( 2v \cdot t_2 \) м².
Составим уравнения по количеству покрашенного:
- Общая площадь, покрашенная Димой, должна составлять 150 м²: \[ 3v \cdot t_1 + \frac{v}{3} \cdot t_2 = 150, \]
- Общая площадь, покрашенная Олегом, также должна составлять 150 м²: \[ v \cdot t_1 + 2v \cdot t_2 = 150. \]
Теперь выразим \( t_2 \) через \( t_1 \). Из первого уравнения выразим \( t_2 \): \[ t_2 = \frac{450 - 9vt_1}{v}. \]
Подставим это во второе уравнение: \[ v t_1 + 2v \left(\frac{450 - 9vt_1}{v}\right) = 150. \] Упростим уравнение: \[ vt_1 + 900 - 18t_1 = 150, \] \[ -17vt_1 = -750, \] \[ t_1 = \frac{750}{17v}. \]
Теперь подставим значение \( t_1 \) обратно, чтобы найти \( t_2 \): \[ t_2 = \frac{450 - 9v \cdot \frac{750}{17v}}{v} = 450 - \frac{6750}{17} = \frac{7650 - 6750}{17} = \frac{900}{17}. \]
Теперь рассчитываем, сколько квадратных метров покрасил Дима:
- Дима красил краскопультом \( 3v \cdot t_1 \): \[ = 3v \cdot \frac{750}{17v} = \frac{2250}{17} \approx 132.35 \text{ м}^2. \]
Итак, Дима покрасил краскопультом примерно 132.35 м².
