Дана треугольная пирамида DABC, все ребра которой равны 6. Точки М, N, К - середины ее ребер АВ, AD, DC. Найдите периметр сечения тетраэдра плоскостью MNK.

Для решения данной задачи начнем с анализа фигуры. У нас есть треугольная пирамида DABC, где все ребра равны 6. Обозначим вершины пирамиды: - D — верхняя вершина, - A, B, C — нижняя треугольная основа. Так как все ребра равны 6, мы можем вывести расстояния между вершинами. Теперь найдем координаты точек: - Пусть D = (0, 0, h), где h — высота пирамиды. - A = (-3, -3, 0) - B = (3, -3, 0) - C = (0, 3, 0) Для начала определим высоту h: Сначала найдем длину ребра AD: \[ AD = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (-3 - 0)^2 + (0 - h)^2} = 6 \] \[ \sqrt{9 + 9 + h^2} = 6 \] \[ 18 + h^2 = 36 \] \[ h^2 = 18 \] \[ h = 3\sqrt{2} \] Теперь наши вершины имеют следующие координаты: - D = (0, 0, 3√2) - A = (-3, -3, 0) - B = (3, -3, 0) - C = (0, 3, 0) Теперь определим координаты точек M, N и K: - M — середина AB: \[ M = \left( \frac{-3 + 3}{2}, \frac{-3 + (-3)}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, -3, 0) \] - N — середина AD: \[ N = \left( \frac{-3 + 0}{2}, \frac{-3 + 0}{2}, \frac{0 + 3\sqrt{2}}{2} \right) = \left( -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \] - K — середина DC: \[ K = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{3 + 0}{2}, \frac{3\sqrt{2} + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \] Теперь найдем векторы MN и NK, чтобы определить длины отрезков, которые образуют сечение пирамиды. Вектор MN: \[ MN = N - M = \left( -\frac{3}{2} - 0, -\frac{3}{2} - (-3), \frac{3\sqrt{2}}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \] Вектор NK: \[ NK = K - N = \left( 0 - \left(-\frac{3}{2}\right), \frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right), \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 3, 0 \right) \] Теперь вычислим длины отрезков MN и NK: \[ |MN| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{27}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \] \[ |NK| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3^2 + 0^2} \] \[ = \sqrt{\frac{9}{4} + 9} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \] Теперь найдем длину отрезка MK: \[ MK = K - M = \left( 0 - 0, \frac{3}{2} - (-3), \frac{3\sqrt{2}}{2} - 0 \right) = \left( 0, \frac{9}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \] Длина: \[ |MK| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{0 + \frac{81}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{108}{4}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] Теперь, чтобы найти периметр сечения, сложим все найденные длины: \[ P = |MN| + |NK| + |MK| \] \[ = \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + 3\sqrt{3} \] \[ = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{3} \] Таким образом, периметр сечения тетраэдра плоскостью MNK равен \( 3\sqrt{5} + 3\sqrt{3} \).