Точка М - середина основания ВС равнобедренного тре-угольника АВС. На стороне АВ выбрана точка Р, а на стороне АС — точка Q таким образом, что LPMB = LQMC. Дока-жите, что: угол APC = углу AQB.

Чтобы доказать, что угол \( \angle APC = \angle AQB \), воспользуемся равенством углов треугольников, используя свойство треугольника и свойство равнобедренного треугольника.

1. Обозначим \( B \) и \( C \) как основания равнобедренного треугольника \( ABC \), где \( AB = AC \).
2. Точка \( M \) - середина \( BC \), значит \( BM = MC \) по определению средней линии.
3. Поскольку \( LPMB = LQMC \), это говорит о том, что углы \( \angle PMB \) и \( \angle QMC \) равны.

Теперь, в треугольниках \( APM \) и \( AQB \):

• \( AB = AC \) (по определению равнобедренного треугольника).
• \( PM = MQ \) (из равенства углов и свойства средней линии, так как \( M \) - середина \( BC \)).
• \( \angle PMB = \angle QMC \) (по условию).

Теперь применим теорему о равенстве углов:

1. В треугольниках \( APM \) и \( AQB \):
   • Из условия равенства \( LPMB = LQMC \) мы имеем \( \angle PMB = \angle QMC \).
   • Так как \( AB = AC \) (равенство сторон треугольников).
   • Таким образом, \( \triangle APM \cong \triangle AQB \) по углу, стороне, углу (USU).

Из этого следует, что углы при соответствующих вершинах равны:

\[ \angle APC = \angle AQB \]

Таким образом, мы доказали, что угол \( APC \) равен углу \( AQB \).