Решите в натуральных числах уравнение m2 = 55 + n2. В ответ запишите сумму полученных значений т.
Решим уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах.
Перепишем его в следующем виде:
\[ m^2 - n^2 = 55 \]
Это уравнение можно записать как разность квадратов:
\[ (m - n)(m + n) = 55 \]
Теперь найдем все возможные пары множителей числа 55, так как \( m - n \) и \( m + n \) должны быть натуральными числами. Множители числа 55 это: \( (1, 55), (5, 11) \).
Рассмотрим каждую пару:
Пара (1, 55): \[ m - n = 1 \] \[ m + n = 55 \]
Сложим оба уравнения: \[ 2m = 56 \quad \Rightarrow \quad m = 28 \]
Теперь найдем \( n \): \[ n = m - 1 = 28 - 1 = 27 \]
Проверим: \[ m^2 = 28^2 = 784, \quad n^2 = 27^2 = 729 \] \[ 784 = 55 + 729 \] Верно!
Пара (5, 11): \[ m - n = 5 \] \[ m + n = 11 \]
Сложим оба уравнения: \[ 2m = 16 \quad \Rightarrow \quad m = 8 \]
Теперь найдем \( n \): \[ n = m - 5 = 8 - 5 = 3 \]
Проверим: \[ m^2 = 8^2 = 64, \quad n^2 = 3^2 = 9 \] \[ 64 = 55 + 9 \] Верно!
Таким образом, мы нашли два решения: \( (m, n) = (28, 27) \) и \( (8, 3) \).
Теперь найдем сумму \( m \): \[ 28 + 8 = 36 \]
Ответ: Сумма полученных значений \( m \) равна 36.
