45⁵×35⁶÷(7×15²)⁵

Давайте рассмотрим выражение \( 45^5 \times 35^6 \div (7 \times 15^2)^5 \).

Первым шагом упростим каждую часть выражения. Начнем с дроби:

1. Посчитаем \( (7 \times 15^2)^5 \):
   • Сначала найдем \( 15^2 = 225 \).
   • Затем, умножим это на 7:
     • \( 7 \times 225 = 1575 \).
   • Теперь возведем в степень 5:
     • \( 1575^5 \).

Теперь перепишем всё выражение с использованием этого результата: \[ 45^5 \times 35^6 \div 1575^5. \]

Следующий шаг — разбить \( 45 \) и \( 35 \) на простые множители, чтобы упростить вычисление:

• \( 45 = 5 \times 9 = 5 \times 3^2 \).
• \( 35 = 5 \times 7 \).
• \( 1575 = 5^2 \times 3^2 \times 7 \) (разложение на множители).

Теперь подставим все эти значения обратно в выражение.

• \( 45^5 = (5 \times 3^2)^5 = 5^5 \times 3^{10} \).
• \( 35^6 = (5 \times 7)^6 = 5^6 \times 7^6 \).
• \( 1575^5 = (5^2 \times 3^2 \times 7)^5 = 5^{10} \times 3^{10} \times 7^5 \).

Теперь все подставим: \[ \frac{5^5 \times 3^{10} \times 5^6 \times 7^6}{5^{10} \times 3^{10} \times 7^5}. \]

Складываем степени в числителе: \[ = \frac{5^{11} \times 3^{10} \times 7^6}{5^{10} \times 3^{10} \times 7^5}. \]

Упрощаем:

• \( 5^{11 - 10} = 5^1 = 5 \),
• \( 3^{10 - 10} = 3^0 = 1 \) (что равно 1),
• \( 7^{6 - 5} = 7^1 = 7 \).

Таким образом, выражение упрощается до: \[ 5 \times 7 = 35. \]

Ответ: \( 35 \).