45⁵×35⁶÷(7×15²)⁵ упростить

Чтобы упростить выражение \( \frac{45^5 \times 35^6}{(7 \times 15^2)^5} \), давайте сначала разберём каждую часть.

1. Разложим числа на простые множители:

   • \( 45 = 5 \times 9 = 5 \times 3^2 \) => \( 45^5 = (5 \times 3^2)^5 = 5^5 \times 3^{10} \).
   • \( 35 = 5 \times 7 \) => \( 35^6 = (5 \times 7)^6 = 5^6 \times 7^6 \).
   • \( 15 = 3 \times 5 \) => \( 15^2 = (3 \times 5)^2 = 3^2 \times 5^2 \), что значит \( (15^2)^5 = (3^2 \times 5^2)^5 = 3^{10} \times 5^{10} \).

2. Записываем всё в выражении: Теперь подставим наши разложения в исходное выражение: \[ E = \frac{45^5 \times 35^6}{(7 \times 15^2)^5} = \frac{(5^5 \times 3^{10}) \times (5^6 \times 7^6)}{(7 \times (3^2 \times 5^2)^5)} = \frac{5^5 \times 3^{10} \times 5^6 \times 7^6}{7^5 \times 3^{10} \times 5^{10}}. \]

3. Объединим множители в числителе:

   • В числителе: \( 5^{5+6} \times 3^{10} \times 7^6 = 5^{11} \times 3^{10} \times 7^6 \).
   • В знаменателе: \( 7^5 \times 3^{10} \times 5^{10} \).

4. Теперь упрощаем выражение: \[ E = \frac{5^{11} \times 3^{10} \times 7^6}{7^5 \times 3^{10} \times 5^{10}}. \] Можно сократить \( 3^{10} \) в числителе и знаменателе: \[ E = \frac{5^{11}}{5^{10}} \times \frac{7^6}{7^5} = 5^{11-10} \times 7^{6-5} = 5^1 \times 7^1 = 5 \times 7 = 35. \]

Таким образом, упрощённое выражение равно \( 35 \).