Задачи «зелёного» уровня сложности MathCat 2024 год Задача 1. (5 баллов) Лепрекон живет в 10 км от работы. Налегко он добирается из дома до работы за 10 минут. Через каждый километр на его пути лежит по слитку золота (воего девять слитков. № 1, № 2, № 9). Если он подбирает слиток, то его скорость падает в 2 раза. За какое время (в минутах) лепрекон доберется до работы, если по пути подберёт слитки № 1, № 3 и № 77 Матеат Задача 2. (3 баллов) Учитель задумал двузначное число, которое делится на 3 и 7. Затем он сообщил Пете и Васе по одной цифре этого числа. Петя сказал: «Я не знаю, какая цифра у Васи». Вася ответил: «Я не знаю твою цифру на теперь знаю, какое число было задумано» Какое число задумал учитель? Задача 3. 17 баллов) Все ученики школы приняли участие в Математическом флешмобе MathCat. Среднее количество баллов, набранных мальчиками, оказалось равно 22, девочками 47, а среднее число баллов во всей школе-41. Какова доля (в процентах) девочек в этой школе? Задача 4. (9 баллов) Пролетая над Зачарованным песом, Дятел превращает бегонию в жасмин или пион в колокольчик А Тукан, пролетая над лесом, превращает бегонию в пион или жасмин в колокольчик За день Дятел пролетел 20 раз, а Тукан - 23 раза. В итоге количество жасминов увеличилось на 5. Как изменилось количество лионов? (Пролетая над лесом, птица совершает одно из двух превращений) Задача 5. (10 баллов) Для целых чисел а, б и с верно равенство а + 25 = 30 + 40 50 ба. Найдите наименьшее положительное значение суммы а+b+c Задача 6. (10 баллов) На рисунке 1 большой прямоугольник площади 2024 кв. ед разделен прямыми линиями на 16 меньших прямоугольников (пропорции на рисунке могут отличаться от настоящих). Площадь серого прямоугольника равна 804 кв. ед. Найдите площадь нарисованного восьмиугольника в кв., ед. Задача 7. (12 баллов) Никита задумал четырехзначное число и умножил его на 9. Рисунок Он с удивлением обнаружил, что сумма цифр полученного произведения равна. 9. Но после он забыл задуманное число, но смог вспомнить некоторые его цифры 37. Какое число мог задумать Никита? Задача 8. (13 баллов) В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 35°, отрезки ВВ, и СС, высоты, тонки В и С середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В,С, и С.В, пересекаются в точке К Найдите величину (в градусах) угла В,КВ, Задача 3. 114 баллов) Клетки некоторой клетчатой фигуры на плоскости раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что любые две клетки, имеющие общую сторону покрашены в разные цвета. Коля разрезап фигуру на доминошки (прямоугольники 1 х 2) и сосчитал количество красно-зеленых доминошек (у которых одна клетка красная, а другая зеленая) 24 штуки. Костя разрезал фигуру на доминошки другим способом и сосчитал количество желто-зелёных и желто-красных доминошек всего 20 штук. Из скольких клеток может состоять фигура? Задача 10. (15 баллов). У натуральных чисел л и п+т выбрали по собственному делителю. Сумма этих двух собственных делителей оказалась равна 222. При каком наименьшем и такое могло быть? (Собственный делитель числа натуральный делитель числа, отличный от 1 и самого числа)

Question 1

Задача Задача №2371095

А

Аноним

28 ноября 2024 21:50 · публичный вопрос

А

Аноним 28 ноября 2024 21:50

Задачи «зелёного» уровня сложности MathCat 2024 год Задача 1. (5 баллов) Лепрекон живет в 10 км от работы. Налегко он добирается из дома до работы за 10 минут. Через каждый километр на его пути лежит по слитку золота (воего девять слитков. № 1, № 2, № 9). Если он подбирает слиток, то его скорость падает в 2 раза. За какое время (в минутах) лепрекон доберется до работы, если по пути подберёт слитки № 1, № 3 и № 77 Матеат Задача 2. (3 баллов) Учитель задумал двузначное число, которое делится на 3 и 7. Затем он сообщил Пете и Васе по одной цифре этого числа. Петя сказал: «Я не знаю, какая цифра у Васи». Вася ответил: «Я не знаю твою цифру на теперь знаю, какое число было задумано» Какое число задумал учитель? Задача 3. 17 баллов) Все ученики школы приняли участие в Математическом флешмобе MathCat. Среднее количество баллов, набранных мальчиками, оказалось равно 22, девочками 47, а среднее число баллов во всей школе-41. Какова доля (в процентах) девочек в этой школе? Задача 4. (9 баллов) Пролетая над Зачарованным песом, Дятел превращает бегонию в жасмин или пион в колокольчик А Тукан, пролетая над лесом, превращает бегонию в пион или жасмин в колокольчик За день Дятел пролетел 20 раз, а Тукан - 23 раза. В итоге количество жасминов увеличилось на 5. Как изменилось количество лионов? (Пролетая над лесом, птица совершает одно из двух превращений) Задача 5. (10 баллов) Для целых чисел а, б и с верно равенство а + 25 = 30 + 40 50 ба. Найдите наименьшее положительное значение суммы а+b+c Задача 6. (10 баллов) На рисунке 1 большой прямоугольник площади 2024 кв. ед разделен прямыми линиями на 16 меньших прямоугольников (пропорции на рисунке могут отличаться от настоящих). Площадь серого прямоугольника равна 804 кв. ед. Найдите площадь нарисованного восьмиугольника в кв., ед. Задача 7. (12 баллов) Никита задумал четырехзначное число и умножил его на 9. Рисунок Он с удивлением обнаружил, что сумма цифр полученного произведения равна. 9. Но после он забыл задуманное число, но смог вспомнить некоторые его цифры 37. Какое число мог задумать Никита? Задача 8. (13 баллов) В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 35°, отрезки ВВ, и СС, высоты, тонки В и С середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В,С, и С.В, пересекаются в точке К Найдите величину (в градусах) угла В,КВ, Задача 3. 114 баллов) Клетки некоторой клетчатой фигуры на плоскости раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что любые две клетки, имеющие общую сторону покрашены в разные цвета. Коля разрезап фигуру на доминошки (прямоугольники 1 х 2) и сосчитал количество красно-зеленых доминошек (у которых одна клетка красная, а другая зеленая) 24 штуки. Костя разрезал фигуру на доминошки другим способом и сосчитал количество желто-зелёных и желто-красных доминошек всего 20 штук. Из скольких клеток может состоять фигура? Задача 10. (15 баллов). У натуральных чисел л и п+т выбрали по собственному делителю. Сумма этих двух собственных делителей оказалась равна 222. При каком наименьшем и такое могло быть? (Собственный делитель числа натуральный делитель числа, отличный от 1 и самого числа)

Answer

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку. Я постараюсь объяснить, как их решить.

Задача 1

Лепрекон живет в 10 км от работы и на каждом километре подбирает слиток золота, что своими силами замедляет его скорость вдвое.

Лепрекон сначала добирается до работы за 10 минут, следовательно, его скорость без задержек: \[ v = \frac{10 \text{ км}}{10 \text{ мин}} = 1 \text{ км/мин} \]
Пусть он приподнимет слитки № 1, № 3 и № 77. Это значит, что его скорость упадет, когда он соберет каждый из этих трех слитков.
Каждый раз, когда он подбирает слиток, его скорость уменьшается вдвое:
- После первого слитка скорость: \[ v_1 = \frac{1 \text{ км/мин}}{2} = 0.5 \text{ км/мин} \]
- После второго: \[ v_2 = \frac{0.5 \text{ км/мин}}{2} = 0.25 \text{ км/мин} \]
- После третьего: \[ v_3 = \frac{0.25 \text{ км/мин}}{2} = 0.125 \text{ км/мин} \]
Теперь, давайте посчитаем, сколько времени понадобиться на каждый километр.
- Для 1-го км: 1 мин.
- Для 2-го км (с новой скоростью): \( \frac{1 \text{ км}}{0.5 \text{ км/мин}} = 2 \text{ мин} \)
- Для 3-го км: \( \frac{1 \text{ км}}{0.25 \text{ км/мин}} = 4 \text{ мин} \)
- Для остальных 7 км (при скорости 0.125 км/мин): \[ \text{Время на оставшиеся 7 км} = 7 \text{ км} \times \frac{1}{0.125} = 56 \text{ мин} \]
Общая продолжительность: \[ T = 1 + 2 + 4 + 56 = 63 \text{ минуты} \]

Задача 2

Учитель задумал двузначное число, которое делится на 3 и 7, следовательно, оно делится на 21. Двузначные числа, которые делятся на 21 – это 21, 42, 63, 84, 105 (но 105 не двузначное).

Числа: 21, 42, 63, 84, чтобы выяснить, какая цифра есть у каждого.
У Петя не может быть информации по числу Васи, так как его цифры могут быть у нескольких чисел.
Однако, как только Вася говорит, что знает число, это значит, что его цифра уникальна.
После анализа видно, что если Петя сообщает цифру "6", то число может быть только 63. Поэтому число, которое задумал учитель: \[ \text{Ответ: } 63 \]

Задача 3

Дано:

Среднее количество баллов мальчиков = 22
Среднее количество баллов девочек = 47
Среднее по всей школе = 41

Обозначим количество мальчиков за \( m \), а количество девочек за \( n \). Средние баллы школы можно записать так: \[ \frac{22m + 47n}{m+n} = 41 \]

Умножим на \( m+n \): \[ 22m + 47n = 41m + 41n \] \[ 6n = 19m \] \[ \frac{n}{m} = \frac{19}{6} \]

Теперь найдем долю девочек: \[ \text{Доля девочек} = \frac{n}{m+n} \cdot 100\% \] Подставим: \[ \frac{n}{m+n} = \frac{19/6}{19/6 + 1} = \frac{19}{25} \] Доля: \[ \text{Ответ: } 76\% \]

Задача 4

Давайте обозначим количество бегоний как \( B, \) пионов как \( P, \) а жасминов как \( J.\)

Дятел превращает бегонию в жасмин: \(B - x \rightarrow J + x\)
Тукан превращает бегонию в пион: \( B - y \rightarrow P + y \)

Зная, что \( x + y = 20 \) и количество жасминов увеличилось на 5. Отсюда можно вывести уравнение: \[ x = 5 \implies y = 15 \]

Теперь подсчитаем: По условию, \( J = J_0 + 5\).

И так:

Для \( y = 15 \): количество бегоний уменьшится на 15.

Таким образом, итоговое количество растений можно обозначить как: \[ \text{Количество растений} = B + P + J \]

Теперь мы сможем найти изменение общего количества. Однако без начальных данных об оригинальном количестве этих типов растений к благоприятному решению не прийти.

Задача 5

Решение: Уравнение: \[ a + 25 = 30 + 40, \, 50, ba \]

Перепишем равенство, чтобы выразить \( b, c \): \[ a + 25 = 30 + 40 + 50 = 120 \implies a = 120 - 25 \] Продолжаем подставлять, решая дальше во всех переменных, будет следовать необходимость анализа.

Задача 6

80% решения в решении этой задачи основано на понимании общего количества и подзадач. Все площади образуют уравнение, которое делается через часть серого прямоугольника.

Задача 7

Число \( N \), которое умножается на 9 и имеет сумму цифр 9. Находите \( N \), что у вас есть. Например, начиная с \( 3 \).

Задача 8

Смотрите на тригонометрические отношения и старайтесь использовать формулы синусов и противоречия для определения углов.

Задача 9

В этой задаче подсчет нейтрального разрешения зависит от применения свойства цветовых схем.

Задача 10

Аналогично потребует делительного анализа на предмет получения значений больших. Решение можно начать с поиска между делителями.

Попробуйте решить каждую из задач по данной логике. Если у вас возникнут дополнительные вопросы — не стесняйтесь задавать!

Question 2

Задачи «зелёного» уровня сложности MathCat 2024 год Задача 1. (5 баллов) Лепрекон живет в 10 км от работы. Налегко он добирается из дома до работы за 10 минут. Через каждый километр на его пути лежит по слитку золота (воего девять слитков. № 1, № 2, № 9). Если он подбирает слиток, то его скорость падает в 2 раза. За какое время (в минутах) лепрекон доберется до работы, если по пути подберёт слитки № 1, № 3 и № 77 Матеат Задача 2. (3 баллов) Учитель задумал двузначное число, которое делится на 3 и 7. Затем он сообщил Пете и Васе по одной цифре этого числа. Петя сказал: «Я не знаю, какая цифра у Васи». Вася ответил: «Я не знаю твою цифру на теперь знаю, какое число было задумано» Какое число задумал учитель? Задача 3. 17 баллов) Все ученики школы приняли участие в Математическом флешмобе MathCat. Среднее количество баллов, набранных мальчиками, оказалось равно 22, девочками 47, а среднее число баллов во всей школе-41. Какова доля (в процентах) девочек в этой школе? Задача 4. (9 баллов) Пролетая над Зачарованным песом, Дятел превращает бегонию в жасмин или пион в колокольчик А Тукан, пролетая над лесом, превращает бегонию в пион или жасмин в колокольчик За день Дятел пролетел 20 раз, а Тукан - 23 раза. В итоге количество жасминов увеличилось на 5. Как изменилось количество лионов? (Пролетая над лесом, птица совершает одно из двух превращений) Задача 5. (10 баллов) Для целых чисел а, б и с верно равенство а + 25 = 30 + 40 50 ба. Найдите наименьшее положительное значение суммы а+b+c Задача 6. (10 баллов) На рисунке 1 большой прямоугольник площади 2024 кв. ед разделен прямыми линиями на 16 меньших прямоугольников (пропорции на рисунке могут отличаться от настоящих). Площадь серого прямоугольника равна 804 кв. ед. Найдите площадь нарисованного восьмиугольника в кв., ед. Задача 7. (12 баллов) Никита задумал четырехзначное число и умножил его на 9. Рисунок Он с удивлением обнаружил, что сумма цифр полученного произведения равна. 9. Но после он забыл задуманное число, но смог вспомнить некоторые его цифры 37. Какое число мог задумать Никита? Задача 8. (13 баллов) В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 35°, отрезки ВВ, и СС, высоты, тонки В и С середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В,С, и С.В, пересекаются в точке К Найдите величину (в градусах) угла В,КВ, Задача 3. 114 баллов) Клетки некоторой клетчатой фигуры на плоскости раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что любые две клетки, имеющие общую сторону покрашены в разные цвета. Коля разрезап фигуру на доминошки (прямоугольники 1 х 2) и сосчитал количество красно-зеленых доминошек (у которых одна клетка красная, а другая зеленая) 24 штуки. Костя разрезал фигуру на доминошки другим способом и сосчитал количество желто-зелёных и желто-красных доминошек всего 20 штук. Из скольких клеток может состоять фигура? Задача 10. (15 баллов). У натуральных чисел л и п+т выбрали по собственному делителю. Сумма этих двух собственных делителей оказалась равна 222. При каком наименьшем и такое могло быть? (Собственный делитель числа натуральный делитель числа, отличный от 1 и самого числа)

Answer

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку. Я постараюсь объяснить, как их решить. ### Задача 1 Лепрекон живет в 10 км от работы и на каждом километре подбирает слиток золота, что своими силами замедляет его скорость вдвое. 1. Лепрекон сначала добирается до работы за 10 минут, следовательно, его скорость без задержек: \[ v = \frac{10 \text{ км}}{10 \text{ мин}} = 1 \text{ км/мин} \] 2. Пусть он приподнимет слитки № 1, № 3 и № 77. Это значит, что его скорость упадет, когда он соберет каждый из этих трех слитков. 3. Каждый раз, когда он подбирает слиток, его скорость уменьшается вдвое: - После первого слитка скорость: \[ v_1 = \frac{1 \text{ км/мин}}{2} = 0.5 \text{ км/мин} \] - После второго: \[ v_2 = \frac{0.5 \text{ км/мин}}{2} = 0.25 \text{ км/мин} \] - После третьего: \[ v_3 = \frac{0.25 \text{ км/мин}}{2} = 0.125 \text{ км/мин} \] 4. Теперь, давайте посчитаем, сколько времени понадобиться на каждый километр. - Для 1-го км: 1 мин. - Для 2-го км (с новой скоростью): \( \frac{1 \text{ км}}{0.5 \text{ км/мин}} = 2 \text{ мин} \) - Для 3-го км: \( \frac{1 \text{ км}}{0.25 \text{ км/мин}} = 4 \text{ мин} \) - Для остальных 7 км (при скорости 0.125 км/мин): \[ \text{Время на оставшиеся 7 км} = 7 \text{ км} \times \frac{1}{0.125} = 56 \text{ мин} \] 5. Общая продолжительность: \[ T = 1 + 2 + 4 + 56 = 63 \text{ минуты} \] ### Задача 2 Учитель задумал двузначное число, которое делится на 3 и 7, следовательно, оно делится на 21. Двузначные числа, которые делятся на 21 – это 21, 42, 63, 84, 105 (но 105 не двузначное). 1. Числа: 21, 42, 63, 84, чтобы выяснить, какая цифра есть у каждого. 2. У Петя не может быть информации по числу Васи, так как его цифры могут быть у нескольких чисел. 3. Однако, как только Вася говорит, что знает число, это значит, что его цифра уникальна. 4. После анализа видно, что если Петя сообщает цифру "6", то число может быть только 63. Поэтому число, которое задумал учитель: \[ \text{Ответ: } 63 \] ### Задача 3 Дано: - Среднее количество баллов мальчиков = 22 - Среднее количество баллов девочек = 47 - Среднее по всей школе = 41 Обозначим количество мальчиков за \( m \), а количество девочек за \( n \). Средние баллы школы можно записать так: \[ \frac{22m + 47n}{m+n} = 41 \] Умножим на \( m+n \): \[ 22m + 47n = 41m + 41n \] \[ 6n = 19m \] \[ \frac{n}{m} = \frac{19}{6} \] Теперь найдем долю девочек: \[ \text{Доля девочек} = \frac{n}{m+n} \cdot 100\% \] Подставим: \[ \frac{n}{m+n} = \frac{19/6}{19/6 + 1} = \frac{19}{25} \] Доля: \[ \text{Ответ: } 76\% \] ### Задача 4 Давайте обозначим количество бегоний как \( B, \) пионов как \( P, \) а жасминов как \( J.\) - Дятел превращает бегонию в жасмин: \(B - x \rightarrow J + x\) - Тукан превращает бегонию в пион: \( B - y \rightarrow P + y \) Зная, что \( x + y = 20 \) и количество жасминов увеличилось на 5. Отсюда можно вывести уравнение: \[ x = 5 \implies y = 15 \] Теперь подсчитаем: По условию, \( J = J_0 + 5\). И так: - Для \( y = 15 \): количество бегоний уменьшится на 15. Таким образом, итоговое количество растений можно обозначить как: \[ \text{Количество растений} = B + P + J \] Теперь мы сможем найти изменение общего количества. Однако без начальных данных об оригинальном количестве этих типов растений к благоприятному решению не прийти. ### Задача 5 Решение: Уравнение: \[ a + 25 = 30 + 40, \, 50, ba \] Перепишем равенство, чтобы выразить \( b, c \): \[ a + 25 = 30 + 40 + 50 = 120 \implies a = 120 - 25 \] Продолжаем подставлять, решая дальше во всех переменных, будет следовать необходимость анализа. ### Задача 6 80% решения в решении этой задачи основано на понимании общего количества и подзадач. Все площади образуют уравнение, которое делается через часть серого прямоугольника. ### Задача 7 Число \( N \), которое умножается на 9 и имеет сумму цифр 9. Находите \( N \), что у вас есть. Например, начиная с \( 3 \). ### Задача 8 Смотрите на тригонометрические отношения и старайтесь использовать формулы синусов и противоречия для определения углов. ### Задача 9 В этой задаче подсчет нейтрального разрешения зависит от применения свойства цветовых схем. ### Задача 10 Аналогично потребует делительного анализа на предмет получения значений больших. Решение можно начать с поиска между делителями. Попробуйте решить каждую из задач по данной логике. Если у вас возникнут дополнительные вопросы — не стесняйтесь задавать!