В классе 28 учеников. на уроке им задали 3 задачи. каждую задачу решили по 9 учеников. каждую пару задач решили по 4 ученика. кроме того, 1 ученик решил все 3 задачи. а) сколько учеников не решило ни одной задачи? б) какова вероятность, что ученик решил 1 и 3 задачу, а 2 не решил? в) какова вероятность, что ученик решил только 1 задачу? г) какова вероятность, что ученик решил 1 и/или 3 задачу, а 2 не решил?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Всего учеников: \( n = 28 \)
- Задачи: \( A_1, A_2, A_3 \)
- Учеников, решивших каждую задачу: \( |A_1| = |A_2| = |A_3| = 9 \)
- Учеников, решивших каждую пару задач: \( |A_1 \cap A_2| = |A_1 \cap A_3| = |A_2 \cap A_3| = 4 \)
- Ученик, решивший все 3 задачи: \( |A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 1 \)
a) Сколько учеников не решили ни одной задачи?
Для начала найдем количество учеников, которые решили хотя бы одну задачу, используя формулу включения-исключения:
\[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \]
Подставим известные значения:
\[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 9 + 9 + 9 - 4 - 4 - 4 + 1 = 28 - 12 + 1 = 17 \]
Теперь найдем количество учеников, которые не решили ни одной задачи:
\[ n - |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 28 - 17 = 11 \]
Ответ на а): 11 учеников не решили ни одной задачи.
б) Какова вероятность, что ученик решил 1 и 3 задачу, а 2 не решил?
Обозначим события:
- \( |A_1 \cap A_3 \cap \overline{A_2}| \): количество учеников, которые решили 1 и 3 задачи, но не 2.
Воспользуемся ранее найденными данными. Известно, что \( |A_1 \cap A_3| = 4 \), а 1 ученик решил все три задачи, значит, есть \( 4 - 1 = 3 \) ученика, которые решили 1 и 3 задачи, но не 2.
Теперь вычислим вероятность:
\[ P(1 \cap 3 \cap \overline{2}) = \frac{|A_1 \cap A_3 \cap \overline{A_2}|}{n} = \frac{3}{28} \]
Ответ на б): Вероятность равна \( \frac{3}{28} \).
в) Какова вероятность, что ученик решил только 1 задачу?
Обозначим событие \( |A_1 \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}| \). Мы знаем, что \( |A_1| = 9 \) и из них 4 человека решили пары задач, а 1 человек решил все три задачи. Значит, ученики, которые решили только 1 задачу (только 1, а не 2 и 3):
\[ |A_1 \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}| = |A_1| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 9 - 4 - 1 = 4 \]
Теперь найдем вероятность:
\[ P(только\ 1) = \frac{|A_1 \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}|}{n} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \]
Ответ на в): Вероятность равна \( \frac{1}{7} \).
г) Какова вероятность, что ученик решил 1 и/или 3 задачу, а 2 не решил?
Для этого события нужно объединить случаи:
- Ученик решил только 1 задачу.
- Ученик решил только 3 задачу.
- Ученик решил 1 и 3 задачи, но не 2.
Уже нашли:
- Вероятность, что ученик решил только 1 задачу: \( 4 \) (из вышеуказанного)
- Вероятность, что ученик решил только 3 задачу: Используем аналогичный расчет:
\[ |A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}| = 9 - 4 - 1 = 4 \]
- Мы уже посчитали: \( |A_1 \cap A_3 \cap \overline{A_2}| = 3 \).
Теперь складываем:
\[ |A_1 \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}| + |A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}| + |A_1 \cap A_3 \cap \overline{A_2}| = 4 + 4 + 3 = 11 \]
Теперь находим вероятность:
\[ P(1\ \text{и/или}\ 3\ \text{и}\ \overline{2}) = \frac{11}{28} \]
Ответ на г): Вероятность равна \( \frac{11}{28} \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дальнейшая помощь, пожалуйста, дайте знать!
