Квадратные трехчлены P(x) и Q(x) таковы, что для любого действительного x выполняется неравенство P(x² - x + 1)=Q(x² + x + 1). Докажите, что оба трехчлена -константы
Чтобы доказать, что квадратные трехчлены \( P(x) \) и \( Q(x) \) являются константами, начнем с анализа условия неравенства:
\[ P(x^2 - x + 1) = Q(x^2 + x + 1) \]
Для квадратных трехчленов можно записать их в общем виде:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \] \[ Q(x) = dx^2 + ex + f \]
где \( a, b, c, d, e, f \) – действительные коэффициенты.
Теперь обратим внимание на выражения \( x^2 - x + 1 \) и \( x^2 + x + 1 \).
Первое выражение \( x^2 - x + 1 \): Это квадратное уравнение, которому соответствуют разные значения в зависимости от \( x \). Это выражение всегда больше нуля для всех действительных \( x \) (поскольку дискриминант равен \( 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \)). Оно принимает значения от \( 1 \) до бесконечности.
Второе выражение \( x^2 + x + 1 \): Также это квадратное уравнение, которое всегда больше нуля для всех действительных \( x \) (дискриминант равен \( 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \)). Это выражение также принимает значения от \( 1 \) до бесконечности.
Теперь, поскольку \( P \) и \( Q \) равны для всех действительных \( x \), это свойство должно сохраняться для всех значений, которые могут быть получены из этих двух выражений.
Давайте обозначим:
\[ u = x^2 - x + 1 \] \[ v = x^2 + x + 1 \]
Сравнивая два выражения, видим, что \( u \) и \( v \) — это параболы, которые принимают все положительные значения. У нас есть равенство:
\[ P(u) = Q(v) \]
Для любого значения \( t \) в диапазоне \( [1, +\infty) \) функции \( P(t) \) и \( Q(t) \) должны быть равны. Это возможно только в случае, если обе функции являются константами (так как если бы они были ненулевыми многими, их значения были бы различны при различных \( t \)).
Таким образом, можно заключить, что коэффициенты \( a \) и \( d \), отвечающие за квадратичные члени в \( P \) и \( Q \), равны нулю. Это приводит нас к выводам, что:
\[ P(x) = c_1 \] \[ Q(x) = c_2 \]
где \( c_1 \) и \( c_2 \) — постоянные.
Следовательно, мы доказали, что \( P(x) \) и \( Q(x) \) — константы.
