Sin^2x+3cosx=0 решите уравнение

Чтобы решить уравнение \( \sin^2 x + 3 \cos x = 0 \), воспользуемся известной тригонометрической тождеством \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \). Подставим это в уравнение:

\[ 1 - \cos^2 x + 3 \cos x = 0 \]

Приведём уравнение к стандартному виду:

\[ -\cos^2 x + 3 \cos x + 1 = 0 \]

Умножаем на \(-1\):

\[ \cos^2 x - 3 \cos x - 1 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем уравнении \( a = 1, b = -3, c = -1 \):

\[ \cos x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два значения для \( \cos x \):

\[ \cos x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \quad \cos x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \]

Теперь необходимо проверить, в каких диапазонах находятся эти значения, чтобы определить, действительны ли они для косинуса.

1. Для \( \cos x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \):

Поскольку \( \sqrt{13} \approx 3.605 \), то \( 3 + \sqrt{13} \approx 6.605 \). Следовательно,

\[ \cos x_1 \approx \frac{6.605}{2} \approx 3.3025 \]

Это значение не может быть равно \( \cos x \), так как \( \cos x \) принимает значения только в интервале \([-1, 1]\).

2. Для \( \cos x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \):

Теперь \( 3 - \sqrt{13} \approx 3 - 3.605 \approx -0.605 \), То есть:

\[ \cos x_2 \approx \frac{-0.605}{2} \approx -0.3025 \]

Это значение находится в диапазоне допустимых для косинуса. Теперь находим \( x \):

\[ x = \arccos\left(-0.3025\right) \]

Решение \( x \) можно записать как:

\[ x = \arccos\left(-0.3025\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\arccos\left(-0.3025\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Это общее решение для данного уравнения.