Около окружности описан квадрат со стороной 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Чтобы найти сторону правильного треугольника, вписанного в окружность, описанную вокруг квадрата, сначала необходимо найти радиус этой окружности.

Квадрат со стороной 36 см имеет диагональ, которая равна \(d = a\sqrt{2}\), где \(a\) - сторона квадрата. Подставляем значение:

\[ d = 36\sqrt{2} \text{ см} \]

Окружность, описанная вокруг квадрата, проходит через его углы, и радиус \(R\) этой окружности равен половине диагонали квадрата:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{36\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь, зная радиус окружности, можем найти сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Сторона правильного треугольника \(a\) связана с радиусом описанной окружности \(R\) по формуле:

\[ a = R \cdot \sqrt{3} \]

Подставим значение радиуса:

\[ a = 18\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 18\sqrt{6} \text{ см} \]

Таким образом, сторона правильного треугольника, вписанного в данную окружность, равна \(18\sqrt{6} \text{ см}\).