Квадратные трёхчлены P(х) и Q(х) таковы, что для любого действительного х выполняется равенство P(х^2 - х - 1) Q(x^2 + 1 - 1). Докажите, что оба трёхчлена - константы.
Для начала, давайте разберем условие задачи. Нам даны два квадратных трёхчлена \( P(x) \) и \( Q(x) \), и нам следует доказать, что они являются константами при условии, что выполняется равенство
\[ P(x^2 - x - 1) = Q(x^2 + 1 - 1) \]
или, упрощая,
\[ P(x^2 - x - 1) = Q(x^2). \]
Теперь проанализируем, что мы знаем о квадратных полиномах. Пусть
\[ P(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0, \] \[ Q(x) = b_2 x^2 + b_1 x + b_0. \]
Подставим в \( P \) и \( Q \) соответствующие выражения:
- \( P(x^2 - x - 1) \) имеет вид: \[ P(x^2 - x - 1) = a_2 (x^2 - x - 1)^2 + a_1 (x^2 - x - 1) + a_0. \]
Раскроем выражение: \[ (x^2 - x - 1)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 1. \] Таким образом, \[ P(x^2 - x - 1) = a_2 (x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 1) + a_1 (x^2 - x - 1) + a_0. \]
- \( Q(x^2) \) имеет вид: \[ Q(x^2) = b_2 x^4 + b_1 x^2 + b_0. \]
Теперь приравняем обе части: \[ a_2 (x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 1) + a_1 (x^2 - x - 1) + a_0 = b_2 x^4 + b_1 x^2 + b_0. \]
Объединим подобные члены и сопоставим коэффициенты:
- При \( x^4 \): \( a_2 \) и \( b_2 \).
- При \( x^3 \): \( -2a_2 = 0 \) \( \Rightarrow a_2 = 0 \).
- При \( x^2 \): \( a_2 + a_1 = b_1 \).
- При \( x^1 \): \( -2a_2 - a_1 = 0 \) \( \Rightarrow a_1 = 0 \).
- Константы: \( a_0 = b_0 \).
При \( a_2 = 0 \) и \( a_1 = 0 \), мы получаем, что \( P(x) = a_0 \) — это константа.
Похожим образом можно показать, что для \( Q(x) \) также будет \( b_2 = 0 \) и \( b_1 = 0 \). Следовательно, \( Q(x) = b_0 \) — это тоже константа.
Таким образом, мы доказали, что оба трёхчлена \( P(x) \) и \( Q(x) \) являются константами.
