Квадратные трёхчлены Р(х) и Q(х) таковы, что для любого действительного х выполняется равенство Р (x2 - x + 1) = Q (x2 + x + 1). Докажите, что оба трёхчлена - константы.
Начнём с того, что квадратные трёхчлены общего вида могут быть записаны как:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c, \] \[ Q(x) = p x^2 + q x + r, \]
где \( a, b, c, p, q, r \) - некоторые коэффициенты.
Дано равенство:
\[ P(x^2 - x + 1) = Q(x^2 + x + 1) \]
Для дальнейшего анализа подставим \( u = x^2 - x + 1 \) и \( v = x^2 + x + 1 \).
Теперь нужно определить, как будет выглядеть \( P(u) \) и \( Q(v) \):
- Подставляем \( u \) в \( P \):
\[ P(u) = a(u^2) + b(u) + c = a((x^2 - x + 1)^2) + b(x^2 - x + 1) + c. \]
- Подставляем \( v \) в \( Q \):
\[ Q(v) = p(v^2) + q(v) + r = p((x^2 + x + 1)^2) + q(x^2 + x + 1) + r. \]
Теперь вычислим \( u^2 \) и \( v^2 \):
\[ u^2 = (x^2 - x + 1)^2 = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1, \] \[ v^2 = (x^2 + x + 1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1. \]
Подставим \( u \) и \( v \) обратно в \( P(u) \) и \( Q(v) \):
\( P(u) \) и \( Q(v) \) будут представлять собой многочлены четвёртой степени, поскольку у нас есть квадрат (ввод у) и последующее умножение на коэффициенты.
Теперь, для того чтобы два этих многочлена были равны для всех \( x \), их коэффициенты должны совпадать. Однако между \( u \) и \( v \) есть разница в \( -2x(x^2 - x + 1) \) и \( +2x(x^2 + x + 1) \).
Это значит, что для того, чтобы равенство выполнялось для всех \( x \), необходимо, чтобы коэффициенты приводили обе стороны уравнения к строго константному значению. Для этого каждый из трёхчленов \( P \) и \( Q \) должен быть без \( x \)-зависимости, то есть выходит, что оба трёхчлена являются константами.
В итоге, мы приходим к выводу, что трёхчлены \( P(x) \) и \( Q(x) \) должны быть константами, что и требовалось доказать.
