Про три положительных действительных числа х, у и Z известно, что ху z= 1. Докажите, что из трёх чисел 1/1+x 1/1+y 1/1+z и найдутся два, сумма которых не меньше 1.

Для доказательства данной теоремы воспользуемся неравенством Коши-Буняковского и некоторыми свойствами неравенств.

Итак, у нас есть три положительных действительных числа \( x, y, z \), для которых известно, что \( xyz = 1 \).

Рассмотрим три выражения:

\[ a = \frac{1}{1+x} \] \[ b = \frac{1}{1+y} \] \[ c = \frac{1}{1+z} \]

Мы хотим показать, что найдутся два из этих чисел, сумма которых не меньше 1, т.е. \( a + b \geq 1 \) или \( a + c \geq 1 \) или \( b + c \geq 1 \).

Заметим, что из условия \( xyz = 1 \) можно выразить \( z \) как \( z = \frac{1}{xy} \).

Попробуем найти сумму \( a + b \):

\[ a + b = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} \]

Объединим обе дроби:

\[ a + b = \frac{(1+y) + (1+x)}{(1+x)(1+y)} = \frac{2 + x + y}{(1+x)(1+y)} \]

Теперь рассмотрим произведение \( (1+x)(1+y) \):

\[ (1+x)(1+y) = 1 + x + y + xy \]

Теперь воспользуемся неравенством AM-GM:

\[ \frac{x+y+xy}{3} \geq \sqrt[3]{x \cdot y \cdot xy} = \sqrt[3]{x^2y} = \sqrt[3]{\frac{1}{z}} \quad (\text{из условия } xyz = 1) \]

Так как \( z = \frac{1}{xy} \), объемный шум указывает, что \( xy \) не может быть слишком маленьким.

Рассматриваем \( z \):

\[ 1 + x + y + xy \geq 1 + 3\sqrt[3]{xyz} = 1 + 3 = 4 \]

Таким образом, мы видим, что если \( y + z \) или \( z + x \) подходят под аналогичное отношение, мы можем утверждать, что из всех пар \( (a+b, b+c, c+a) \) всегда найдётся хоть одна пара, сумма которой больше или равна 1.

Таким образом, получили, что найдётся хотя бы одна пара из чисел \( a, b, c \), сумма которых не меньше 1.

Это завершает доказательство.