Реши дробно рациональное уравнение: в числителе: x^3-6x^2+13x-8 в знаменателе: x^3-2x^2+3x-6
Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, сначала необходимо упростить выражение. Рассмотрим дробь
\[ \frac{x^3-6x^2+13x-8}{x^3-2x^2+3x-6} = 0. \]
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, при этом знаменатель не должен равняться нулю.
Найдем корни числителя: Для решения уравнения \(x^3 - 6x^2 + 13x - 8 = 0\) попробуем найти корни с помощью подбора или теоремы о корнях.
Проверим, например, значения \(x = 2\):
\[ 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 13 \cdot 2 - 8 = 8 - 24 + 26 - 8 = 2, \]
что не равно нулю. Теперь попробуем \(x = 1\):
\[ 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 13 \cdot 1 - 8 = 1 - 6 + 13 - 8 = 0. \]
Таким образом, \(x = 1\) является корнем. Теперь разложим числитель на множители, применяя деление многочленов:
При делении \(x^3 - 6x^2 + 13x - 8\) на \((x - 1)\), получим:
\[ x^3 - 6x^2 + 13x - 8 = (x - 1)(x^2 - 5x + 8). \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x + 8 = 0\) с помощью дискриминанта:
Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7\), что указывает на отсутствие действительных корней.
Итак, числитель имеет один действительный корень \(x = 1\) и два комплексных корня.
Теперь найдем корни знаменателя: Для уравнения \(x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0\) выполняем аналогичные действия. Проверим, например, \(x = 2\):
\[ 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 6 = 8 - 8 + 6 - 6 = 0. \]
Значит, \(x = 2\) является корнем. Делим большой многочлен на \((x - 2)\):
\[ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = (x - 2)(x^2 + 3). \]
Получаем квадратичное уравнение \(x^2 + 3 = 0\), которое дает два комплексных корня \(x = \sqrt{3}i\) и \(x = -\sqrt{3}i\).
Обобщение: Мы нашли, что дробь равна нулю при \(x = 1\) (действительное решение) и не имеет других действительных корней. Знаменатель равен нулю при \(x = 2\), что недопустимо.
Таким образом, решение уравнения
\[ \frac{x^3-6x^2+13x-8}{x^3-2x^2+3x-6} = 0 \]
это:
\[ x = 1. \]
Важно помнить, что \(x = 2\) исключено, так как данный корень приводит к неопределенности.
