Сделай номер 3

Привет! Давай разберём задание номер 3.

Задание просит решить квадратное тригонометрическое неравенство:

2sin²x - 5sinx - 3 < 0

Вот как мы это сделаем шаг за шагом:

1. Замена переменной: Обозначим sinx как t. Теперь у нас есть квадратное неравенство:

   2t² - 5t - 3 < 0

2. Решение квадратного неравенства:

   • Найдём корни квадратного трёхчлена 2t² - 5t - 3 = 0 с помощью дискриминанта.
   • Дискриминант (D) равен b² - 4ac, где a = 2, b = -5, c = -3.
   • D = (-5)² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49.
   • Корни t = (5 ± √49) / (2 * 2).
   • Корни: t₁ = 3 и t₂ = -0.5.

3. Интервалы: Расставим корни на числовой оси и определим знаки трёхчлена на интервалах:

   • Интервалы: (-∞, -0.5), (-0.5, 3), (3, ∞).
   • Обычно проверяем знак, подставляя в выражение точки из каждого интервала.

4. Выбор нужного интервала:

   • Нам нужно, где 2t² - 5t - 3 < 0. Это на интервале (-0.5, 3).

5. Обратная замена:

   • Поскольку sinx = t, то -0.5 < sinx < 3.
   • Значение sinx всегда в пределах от -1 до 1, поэтому рассматриваем диапазон от -0.5 до 1.

6. Ответ:

   • Решаем неравенства -0.5 < sinx < 1.
   • Для -0.5 < sinx рассмотрим отрезок (7π/6, 11π/6) плюс периоды.
   • Для sinx < 1 подходит весь круг.

Ответ: x ∈ (7π/6 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ), где k — целое число.

Если что-то непонятно, дай знать!