Сделай номер 3

Давай разберемся с номером 3. Нам нужно решить квадратное тригонометрическое неравенство:

\[ 2\sin^2x - 5\sin x - 3 < 0 \]

Шаг 1: Обозначим \( \sin x = t \). Тогда неравенство превращается в квадратное:

\[ 2t^2 - 5t - 3 < 0 \]

Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения \( 2t^2 - 5t - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) \).

Вычислим: \[ D = 25 + 24 = 49 \]

Корни: \[ t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{5 + 7}{4} = 3 \] \[ t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} \]

Шаг 3: Исследуем промежутки. Нам нужно решить:

\[ 2t^2 - 5t - 3 < 0 \]

Решение существует на интервале между корнями: \( -\frac{1}{2} < t < 3 \).

Шаг 4: Вернемся к \( \sin x \). Поскольку \( -1 \leq \sin x \leq 1 \), нужно брать \( -\frac{1}{2} < \sin x < 1 \).

Ответ: Решения находятся в интервалах, где \( \sin x \) удовлетворяет условию \( -\frac{1}{2} < \sin x < 1 \) на промежутке \( (0, 2\pi) \).