В школе английского языка занимаются 22 ребёнка. Недавно появилась возможность открыть группу из 17 человек для занятий с носителем языка из Великобритании. Сколькими способами можно собрать группу из 17 человек среди тех детей, кто уже занимается?
Чтобы определить, сколькими способами можно собрать группу из 17 человек из 22 детей, мы можем использовать формулу для сочетаний. Сочетания позволяют нам найти количество способов выбрать k объектов из n без учета порядка.
Формула для сочетаний записывается как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
где:
- \(n\) - общее количество объектов (в нашем случае 22 ребенка),
- \(k\) - количество выбираемых объектов (в нашем случае 17 человек).
Подставим значения в формулу:
\[ C(22, 17) = \frac{22!}{17! \cdot (22-17)!} = \frac{22!}{17! \cdot 5!} \]
Теперь упростим выражение:
\[ C(22, 17) = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
Вычислим числитель:
\[ 22 \times 21 = 462 \] \[ 462 \times 20 = 9240 \] \[ 9240 \times 19 = 175560 \] \[ 175560 \times 18 = 3161280 \]
Теперь вычислим знаменатель:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
Теперь найдем количество способов:
\[ C(22, 17) = \frac{3161280}{120} = 26344 \]
Таким образом, существует 26344 способа собрать группу из 17 человек среди 22 детей.
