В спортивной школе девочки составляют 65% числа всех учащихся. Сколько в этой школе девочек, если их на 180 человек больше, чем мальчиков?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим число мальчиков как \( x \). Тогда число девочек будет \( x + 180 \), поскольку девочек на 180 человек больше, чем мальчиков.

Согласно условию, девочки составляют 65% от общего числа учащихся. Общее число учащихся можно выразить как сумму мальчиков и девочек:

\[ x + (x + 180) = 2x + 180 \]

Теперь мы можем записать уравнение для 65% учащихся:

\[ x + 180 = 0.65 \cdot (2x + 180) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ x + 180 = 1.3x + 117 \]

Переносим все члены с \( x \) в одну сторону уравнения, а числовые значения в другую:

\[ 180 - 117 = 1.3x - x \]

Это упрощается до:

\[ 63 = 0.3x \]

Теперь решим для \( x \):

\[ x = \frac{63}{0.3} = 210 \]

Теперь, зная, что количество мальчиков \( x \) равно 210, можем найти количество девочек:

\[ x + 180 = 210 + 180 = 390 \]

Таким образом, в спортивной школе девочек 390 человек.