Сколько целых значений k, при которых прямая y=kx не пересекает параболы y=x² +40x + 500 и y=x²-10x + 47

Чтобы определить, сколько целых значений \( k \) существует, при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 + 40x + 500 \) и \( y = x^2 - 10x + 47 \), необходимо рассмотреть ситуацию с точки зрения дискриминанта.

Для начала, запишем уравнения, которые получаются при приравнивании прямой и параболы.

1. Для первой параболы \( y = x^2 + 40x + 500 \): \[ kx = x^2 + 40x + 500 \implies x^2 + (40-k)x + 500 = 0. \] Дискриминант этого уравнения \( D_1 \) будет: \[ D_1 = (40-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500. \] Для того чтобы прямая не пересекала параболу, дискриминант должен быть меньше нуля: \[ (40-k)^2 - 2000 < 0. \] Решим неравенство: \[ (40-k)^2 < 2000. \] Взяв квадратный корень, получаем: \[ |40-k| < \sqrt{2000} \approx 44.72. \] Это приводит к системе: \[ -44.72 < 40-k < 44.72. \] Выразим \( k \): \[ -4.72 < k < 84.72. \]

2. Теперь рассмотрим вторую параболу \( y = x^2 - 10x + 47 \): \[ kx = x^2 - 10x + 47 \implies x^2 + (10+k)x + 47 = 0. \] Дискриминант этого уравнения \( D_2 \) будет: \[ D_2 = (10+k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 47. \] Для того чтобы прямая не пересекала параболу, дискриминант также должен быть меньше нуля: \[ (10+k)^2 - 188 < 0. \] Решим это неравенство: \[ (10+k)^2 < 188 \implies |10+k| < \sqrt{188} \approx 13.71. \] Это приводит к системе: \[ -13.71 < 10+k < 13.71. \] Выразим \( k \): \[ -23.71 < k < 3.71. \]

Теперь нужно пересечь два найденных диапазона для \( k \):

• Первый диапазон: \( -4.72 < k < 84.72 \)
• Второй диапазон: \( -23.71 < k < 3.71 \)

Объединяя их, окончательный набор значений для \( k \): \[ -4.72 < k < 3.71. \]

Теперь найдем целые значения в этом интервале. Они включают \( -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \), что составляет 8 значений.

Таким образом, существует 8 целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает указанные параболы.