В сосуде был сироп. Часть его отлили и долили столько же воды. Затем, перемешав, отлили такую же часть и сосуд опять долили водой. В сосуде отношение сиропа и воды оказалось 16 : 9.Какую часть отливали?
Обозначим объем исходного сиропа в сосуде за 1 (проще всего работать с единичными объемами).
Пусть часть сиропа, которую отлили, равна \( x \).
- После того как отлили \( x \) сиропа, в сосуде остается \( 1 - x \) сиропа.
- Доливаем столько же воды, то есть \( x \) воды. Теперь в сосуде:
- сиропа: \( 1 - x \)
- воды: \( x \)
Таким образом, в сосуде всего: \[ (1 - x) + x = 1 \]
- Теперь снова отливают \( x \). При отливании \( x \) нужно учесть, что мы отливаем смесь, где доля сиропа и воды известна. Общее количество жидкости = 1, откуда доля сиропа: \[ \frac{1 - x}{1} = 1 - x \] и доля воды: \[ \frac{x}{1} = x \]
При отливании \( x \) из смеси: Убираем \( x \) % от каждой компоненты.
- Объем сиропа, который мы отливаем: \( x \cdot (1 - x) = x - x^2 \)
- Объем воды, который мы отливаем: \( x \cdot x = x^2 \)
После второго отлива в сосуде останется:
- сиропа: \( (1 - x) - (x - x^2) = 1 - 2x + x^2 \)
- воды: \( x - x^2 \)
- Теперь доливаем еще \( x \) воды, и тогда объем воды становится: \[ (x - x^2) + x = 2x - x^2 \]
Теперь у нас есть:
- сиропа: \( 1 - 2x + x^2 \)
- воды: \( 2x - x^2 \)
И мы знаем, что отношение сиропа к воде равно \( \frac{16}{9} \): \[ \frac{1 - 2x + x^2}{2x - x^2} = \frac{16}{9} \]
Перемножим по крестам: \[ 9(1 - 2x + x^2) = 16(2x - x^2) \] \[ 9 - 18x + 9x^2 = 32x - 16x^2 \] \[ (9 + 16)x^2 - (18 + 32)x + 9 = 0 \] \[ 25x^2 - 50x + 9 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 25, b = -50, c = 9 \): \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} \] \[ x = \frac{50 \pm 40}{50} \] Решения: \[ x = \frac{90}{50} = 1.8 \quad (не подходит) \] \[ x = \frac{10}{50} = 0.2 \]
Таким образом, отливали \( \frac{1}{5} \) или \( 20\% \).
