|(x - 1)/x| * (x ^ 2 - x - 6) <= 0
Чтобы решить неравенство \(\frac{|x - 1|}{x} \cdot (x^2 - x - 6) \leq 0\), давайте разберем его на шаги.
Найдём корни квадратного уравнения: Уравнение \(x^2 - x - 6 = 0\) можно решить с помощью метода факторизации или используя формулу корней. Оно раскладывается на множители: \((x - 3)(x + 2) = 0\). Таким образом, корни равны \(x = 3\) и \(x = -2\).
Определим точки разбиения: Неравенство будет равно нулю в следующих точках:
- \(x = 1\) (из-за модуля \(|x - 1|\)),
- \(x = 3\) и \(x = -2\) (корни квадратного уравнения).
Проверим, в каких интервалах неравенство становится отрицательным или равным нулю. Определим интервалы:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Выберем тестовые точки:
- Для интервала \((-∞, -2)\), например, \(x = -3\): \[ \frac{|-3 - 1|}{-3} \cdot ((-3)^2 - (-3) - 6) = \frac{4}{-3} \cdot (9 + 3 - 6) = \frac{4}{-3} \cdot 6 < 0 \]
- Для интервала \((-2, 1)\), например, \(x = 0\): \[ \frac{|0 - 1|}{0} \cdot (0^2 - 0 - 6) \text{ (неопределенно)} \]
- Для интервала \((1, 3)\), например, \(x = 2\): \[ \frac{|2 - 1|}{2} \cdot (2^2 - 2 - 6) = \frac{1}{2} \cdot (4 - 2 - 6) = \frac{1}{2} \cdot (-4) < 0 \]
- Для интервала \((3, +\infty)\), например, \(x = 4\): \[ \frac{|4 - 1|}{4} \cdot (4^2 - 4 - 6) = \frac{3}{4} \cdot (16 - 4 - 6) = \frac{3}{4} \cdot 6 > 0 \]
Соберем результаты:
- В интервале \((-∞, -2)\) выражение отрицательно.
- В интервале \((1, 3)\) также отрицательно.
- В точках \(x = -2\), \(x = 1\), и \(x = 3\) неравенство равно нулю или неопределено в случае \(x = 0\).
Запишем окончательное решение: \[ x \in (-\infty, -2] \cup [1, 3] \]
Это решение отражает все значения \(x\), для которых данное неравенство выполняется. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
