x/1 + x2/4 + x3/9 + ...+ xn/no +... решить ряд по признакам

Для решения ряда \( \frac{x}{1} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{9} + ... + \frac{x^n}{n^2} + ... \) можно использовать признак сравнения и анализ сходимости с помощью специального теста.

Давайте определим общий член ряда как \( a_n = \frac{x^n}{n^2} \).

Признак сравнения

Сравним данный ряд с известным рядoм, например, с рядом \( \sum \frac{1}{n^2} \), который является сходящимся, так как он является p-рядом с \( p=2 \) (где \( p > 1 \)).

Для \( |x| < 1 \): \[ |a_n| = \frac{|x|^n}{n^2} \] Мы можем сравнить этот ряд с \( \frac{1}{n^2} \), тогда \[ |a_n| < \frac{1}{n^2} \text{ для больших } n \] Тогда ряд \( \sum a_n \) будет сходиться по признаку сравнения, если \( |x| < 1 \).

Признак Даламбера

Также можно применить признак Даламбера (или признак ratios), который гласит, что для определения сходимости ряда: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \] если \( L < 1 \), ряд сходится; если \( L > 1 \) или \( L = \infty \), ряд расходится; если \( L = 1 \), признак не дает информации.

В нашем случае: \[ a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}, \quad a_n = \frac{x^n}{n^2} \]

Теперь найдем предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1} \cdot n^2}{x^n \cdot (n+1)^2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x \cdot n^2}{(n+1)^2} \right| \] \[ = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 2n + 1} = |x| \cdot 1 = |x| \] Таким образом, если \( |x| < 1 \), ряд сходится.

Заключение

Итак, мы можем сделать вывод:

• Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} \) сходится для \( |x| < 1 \).
• Для \( |x| \geq 1 \) ряд расходится.

Если у вас остались вопросы или нужно рассмотреть другие признаки сходимости, не стесняйтесь обращаться!