На окружности лежат 50 точек. Выберем все тройки точек, которые образуют прямоугольный треугольник. Сколько таких троек может оказаться?

Рассмотрим задачу о выборе троек точек, лежащих на окружности, которые образуют прямоугольный треугольник. Напомним, что в окружности всегда можно провести диаметр, и если одна из сторон треугольника является диаметром, то угол против этой стороны будет прямым.

Итак, у нас есть 50 точек на окружности. Для того чтобы образовать прямоугольный треугольник с одной стороной, равной диаметру, нам нужно выбрать любые 2 точки из этих 50, которые будут лежать на диаметре. Оставшаяся третья точка должна располагаться на окружности, но не на этом диаметре.

1. Выбираем 2 точки, которые образуют диаметр. Поскольку из 50 точек мы можем выбрать 2 точки, которые будут находиться на диаметре, это можно сделать в \(\binom{50}{2}\) способами. Формула для комбинаций такова: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае: \[ \binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225 \]

2. Теперь, для каждой выбранной пары изготовленных некоей диаметральной линии, оставшиеся 48 точек можно использовать для выбора третьей точки, которая создаст прямоугольный треугольник с этими диаметральными точками. Таким образом, для каждой такой пары мы можем выбрать 1 из 48 оставшихся точек.

Таким образом, общее количество тройк точек, образующих прямоугольный треугольник, можно вычислить следующим образом: \[ Количество \, тройок = \binom{50}{2} \times 48 = 1225 \times 48 = 58800 \]

Итак, количество троек точек на окружности, которые образуют прямоугольный треугольник, составляет 58800.