Для решения данной задачи, давайте обозначим события:
- ( D ): тарелка имеет дефект.
- ( N ): тарелка не имеет дефектов.
- ( Q ): тарелка проходит контроль качества.
Сначала определим, сколько тарелок имеют дефекты. Если 10% тарелок на фабрике дефектные, это означает, что:
[ P(D) = 0.10 ]
Следовательно, вероятность того, что тарелка не имеет дефектов, составляет:
[ P(N) = 1 - P(D) = 1 - 0.10 = 0.90 ]
При контроле качества выявляется 65% дефектных тарелок, то есть:
[ P(Q|D) = 0.65 ]
Это означает, что 35% дефектных тарелок не проходят контроль качества:
[ P(Q|N) = 1 ] (поскольку тарелки без дефектов всегда проходят контроль качества)
Теперь определим общую вероятность того, что тарелка проходит контроль качества. Используем формулу полной вероятности:
[ P(Q) = P(Q|D) \cdot P(D) + P(Q|N) \cdot P(N) ]
Подставим известные значения:
[ P(Q) = 0.65 \cdot 0.10 + 1 \cdot 0.90 ]
[ P(Q) = 0.065 + 0.90 = 0.965 ]
Теперь мы можем найти вероятность того, что выбранная тарелка не имеет дефектов, при условии, что она прошла контроль качества. Это можно найти с помощью формулы Байеса:
[ P(N|Q) = \frac{P(Q|N) \cdot P(N)}{P(Q)} ]
Подставим значения:
[ P(N|Q) = \frac{1 \cdot 0.90}{0.965} ]
[ P(N|Q) = \frac{0.90}{0.965} \approx 0.9324 ]
Округляя до сотых, получаем:
[ P(N|Q) \approx 0.93 ]
Итак, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, составляет примерно 0.93.
