Найти производную при данном значении аргумента F(x)=sin^2 x X= П/4

Для нахождения производной функции \( F(x) = \sin^2 x \) в заданной точке \( x = \frac{\pi}{4} \) сначала найдем производную этой функции.

1. Применим правило дифференцирования сложной функции. Выражение можно представить как \( F(x) = \sin(x) \cdot \sin(x) \). Используя правило произведения и цепное правило, получаем:

\[ F'(x) = 2 \sin(x) \cdot \cos(x). \]

2. Теперь уточним, как упростить это выражение. Мы знаем, что \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \). Поэтому можно записать:

\[ F'(x) = \sin(2x). \]

3. Теперь подставим \( x = \frac{\pi}{4} \):

\[ F'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right). \]

4. Значение \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Таким образом, производная функции \( F(x) = \sin^2 x \) при \( x = \frac{\pi}{4} \) равна 1.