Найди радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник A B C ABC , где ∠ B = 9 0 ∘ ∠B=90 ∘ , A B = 21 AB=21 , B C = 12 2 BC=12 √2 ​ .

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно использовать формулу:

\[ R = \frac{c}{2} \]

где \( c \) — это длина гипотенузы. В нашем случае треугольник ABC имеет вершину B с прямым углом.

1. Сначала нам нужно найти длину гипотенузы \( AC \). Мы знаем длины двух катетов:

   • \( AB = 21 \)
   • \( BC = 12\sqrt{2} \)

2. Применим теорему Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Подставим значения:

\[ AC^2 = 21^2 + (12\sqrt{2})^2 \]

Посчитаем:

\[ AC^2 = 441 + 288 \]

\[ AC^2 = 729 \]

Теперь найдём длину гипотенузы \( AC \):

\[ AC = \sqrt{729} = 27 \]

3. Теперь мы можем найти радиус O:

\[ R = \frac{AC}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \]

Итак, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC, равен 13.5.