Найти площадь фигуры ограниченных линиями у=х^2-8x+18, y=-2x+18

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 - 8x + 18 \) и \( y = -2x + 18 \), сначала определим точки пересечения этих линий. Для этого приравняем уравнения:

\[ x^2 - 8x + 18 = -2x + 18 \]

Упрощаем уравнение:

\[ x^2 - 8x + 2x + 18 - 18 = 0 \]

Это сокращается до:

\[ x^2 - 6x = 0 \]

Выносим \( x \) за скобки:

\[ x(x - 6) = 0 \]

Таким образом, точки пересечения находятся в \( x = 0 \) и \( x = 6 \).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, находящейся между графиками, используя интеграл. Площадь \( S \) можно найти по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (верхняя \, функция - нижняя \, функция) \, dx \]

В нашем случае:

\[ S = \int_{0}^{6} ((-2x + 18) - (x^2 - 8x + 18)) \, dx \]

Упрощаем интеграл:

\[ S = \int_{0}^{6} (-2x + 18 - x^2 + 8x - 18) \, dx \]

Итак, это сокращается до:

\[ S = \int_{0}^{6} (-x^2 + 6x) \, dx \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{6} \]

Подставляем границы:

\[ S = \left( -\frac{6^3}{3} + 3(6^2) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 3(0^2) \right) \]

Вычислим:

\[ S = \left( -\frac{216}{3} + 3 \cdot 36 \right) - 0 = \left( -72 + 108 \right) = 36 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна \( 36 \) квадратных единиц.