Cos(2x)<√3/2

Чтобы решить неравенство \( \cos(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \), начнем с определения, при каких значениях аргумента косинус меньше \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

1. Найдём основные углы: Косинус равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) в двух точках на интервале \( [0, 2\pi] \):

   • \( 2x = \frac{\pi}{6} \)
   • \( 2x = \frac{11\pi}{6} \)

2. Определим промежутки: Функция \( \cos(2x) \) будет меньше \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) на интервалах:

   • \( \frac{\pi}{6} < 2x < \frac{11\pi}{6} \)

3. Перейдём к \( x \): Разделим все части неравенства на 2:

   • \( \frac{\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12} \)

4. Обобщение на все периоды: Учитывая, что косинус периодичен с периодом \( \pi \) (поскольку мы рассматриваем \( 2x \)), добавим \( k\pi \) (где \( k \) — любое целое число) к \( 2x \):

   • \( \frac{\pi}{6} + k\pi < 2x < \frac{11\pi}{6} + k\pi \)

   Теперь, делим на 2:

   • \( \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \)

Таким образом, решение неравенства \( \cos(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \) будет записываться в виде:

\[ x \in \left( \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \frac{11\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Это обозначает, что для любого целого \( k \) значения \( x \) будут в указанных интервалах. Якщо вас интересуют дополнительные пояснения или примеры, обращайтесь!