Cos(2x)<√3/2

Для решения неравенства \( \cos(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \), давайте сначала определим, при каких значениях аргумента косинус меньше \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Косинус принимает значение \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) в углах:

• \( 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) (где \( k \) - любое целое число);
• \( 2x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \).

Теперь найдем благоприятные диапазоны для \( 2x \):

1. Углы, при которых \( \cos(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \):
   • Это происходит в промежутках:
   • \( \frac{\pi}{6} < 2x < \frac{11\pi}{6} \) и
   • \( \frac{7\pi}{6} < 2x < \frac{13\pi}{6} \) и так далее для всех периодов.

Теперь выразим \( x \):

1. Из первого неравенства: \[ \frac{\pi}{6} < 2x < \frac{11\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12} \]
2. Из второго неравенства: \[ \frac{7\pi}{6} < 2x < \frac{13\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad \frac{7\pi}{12} < x < \frac{13\pi}{12} \]

Теперь учитываем периодичность функций. Поскольку период косинуса равен \( 2\pi \), добавляем \( \pi k \) к нашему результату для учёта всех возможных решений:

Таким образом, окончательные интервалы для \( x \) с учетом периода будут:

1. \( x \in \left( \frac{\pi}{12} + \pi k, \frac{11\pi}{12} + \pi k \right) \)
2. \( x \in \left( \frac{7\pi}{12} + \pi k, \frac{13\pi}{12} + \pi k \right) \)

где \( k \) - это любое целое число.

Это все возможные промежутки для \( x \), где неравенство \( \cos(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \) выполняется.