Вычисли

Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \log_3((x-6)(x+4)) \), нужно определить, при каких значениях \( x \) выражение внутри логарифма больше нуля, так как логарифм определён только для положительных чисел.

Рассмотрим выражение \((x-6)(x+4) > 0\).

Мы решаем неравенство по следующему принципу:

1. Найдём нули: \( x-6 = 0 \) и \( x+4 = 0 \). Это, соответственно, \( x = 6 \) и \( x = -4 \).

2. Разобьём числовую прямую на интервалы: \((-∞, -4)\), \((-4, 6)\), \((6, ∞)\).

3. Проверим знаки в каждом интервале:

   • На интервале \((-∞, -4)\): возьмём \( x = -5 \), тогда \((x-6)(x+4) = (-5-6)(-5+4) = 11 \), положительно.
   • На интервале \((-4, 6)\): возьмём \( x = 0 \), тогда \((x-6)(x+4) = (-6)(4) = -24 \), отрицательно.
   • На интервале \((6, ∞)\): возьмём \( x = 7 \), тогда \((x-6)(x+4) = (1)(11) = 11 \), положительно.

Таким образом, \((x-6)(x+4) > 0\) выполняется на интервалах \((-∞, -4)\) и \((6, ∞)\).

Ответ: область определения функции — \((-∞, -4) \cup (6, ∞)\).