Определите, лежит ли точка А (3;5;-4) на сфере, внутри сферы или вне сферы, заданной уравнением ×2 + y2- 2z + z2 = 45

Чтобы определить, лежит ли точка A (3; 5; -4) на сфере, внутри сферы или вне сферы, заданной уравнением \(x^2 + y^2 - 2z + z^2 = 45\), сначала преобразуем уравнение сферы.

Уравнение можно переписать в более стандартной форме. Для этого сгруппируем и приведем все элементы к более привычному виду:

1. Переписываем уравнение: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 45 \]

2. Чтобы привести \(z\) к квадрату, добавим и вычтем 1: \[ x^2 + y^2 + (z^2 - 2z + 1) = 45 + 1 \] Это уравнение можно записать как: \[ x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 46 \]

Теперь мы видим, что данная сфера имеет центр в точке \(C(0, 0, 1)\) и радиус \(R = \sqrt{46}\).

Далее, мы рассчитаем расстояние от точки A(3; 5; -4) до центра C(0; 0; 1):

\[ d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (5 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25 + 25} = \sqrt{59} \]

Теперь сравним это расстояние с радиусом сферы.

1. Радиус сферы: \[ R = \sqrt{46} \]

2. Сравниваем \(d\) и \(R\):

• Если \(d < R\) (то есть \(\sqrt{59} < \sqrt{46}\)), то точка A находится внутри сферы.
• Если \(d = R\) (то есть \(\sqrt{59} = \sqrt{46}\)), то точка A лежит на поверхности сферы.
• Если \(d > R\) (то есть \(\sqrt{59} > \sqrt{46}\)), то точка A находится вне сферы.

Теперь посмотрим на значения:

\[ 59 > 46 \]

Это означает, что:

\[ \sqrt{59} > \sqrt{46} \]

Таким образом, точка A(3; 5; -4) находится вне сферы.