Определите, лежит ли точка А (3;5;-4) на сфере, внутри сферы или вне сферы, заданной уравнением ×2 + y2- 2z + z2 = 45
Чтобы определить, лежит ли точка A(3; 5; -4) на сфере, внутри сферы или вне сферы, заданной уравнением \(x^2 + y^2 - 2z + z^2 = 45\), сначала преобразуем уравнение.
Сначала упростим уравнение сферы. Мы можем переписать его в стандартной форме:
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 45 \]
Теперь добавим \(1\) к обеим сторонам уравнения, чтобы упростить его:
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1 = 46 \]
Заметим, что \(z^2 - 2z + 1\) можно представить как \((z - 1)^2\). Таким образом, уравнение принимает вид:
\[ x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 46 \]
Теперь это уравнение сферы с центром в точке \((0, 0, 1)\) и радиусом \(r = \sqrt{46}\).
Теперь найдем расстояние от центра сферы до точки A(3; 5; -4):
- Координаты центра сферы: \((0, 0, 1)\)
- Координаты точки A: \((3, 5, -4)\)
Расстояние \(d\) вычисляется по формуле:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Подставим значения:
\[ d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (5 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} \] \[ = \sqrt{3^2 + 5^2 + (-5)^2} \] \[ = \sqrt{9 + 25 + 25} \] \[ = \sqrt{59} \]
Теперь сравним полученное расстояние \(d = \sqrt{59}\) с радиусом сферы \(r = \sqrt{46}\).
Поскольку \(\sqrt{59} > \sqrt{46}\), это означает, что точка A находится вне сферы.
Итак, ответ: точка A (3; 5; -4) лежит вне сферы, заданной уравнением \(x^2 + y^2 - 2z + z^2 = 45\).
