Точки А(0; 3), В(2; -3) равноудалены от точки С. Найдите координату точки С, если АС = 2√5. В ответе запишите квадрат ординаты точки С.

Давайте решим вашу задачу по нахождению координат точки С.

У нас есть точки A(0, 3) и B(2, -3), которые равноудалены от точки C. Это означает, что расстояние от точки A до точки C равно расстоянию от точки B до точки C.

Согласно условию, AС = 2√5. Мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками, которая выглядит так:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Для точки A(0, 3) и точки C(x, y) расстояние AС будет:

\[ AC = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 3)^2} \]

А для точки B(2, -3) и точки C(x, y) расстояние BС будет:

\[ BC = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2} \]

Поскольку AC = BC, мы можем записать уравнение:

\[ \sqrt{x^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2} \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ x^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) \]

Упрощаем:

\[ x^2 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 \]

Сократим \( x^2 \) и \( y^2 \):

\[ -6y + 9 = -4x + 4 + 6y + 9 \]

\[ -6y = -4x + 4 + 6y \]

Переносим все y в одну сторону:

\[ -6y - 6y = -4x + 4 \]

\[ -12y = -4x + 4 \]

Разделим обе стороны на -4:

\[ 3y = x - 1 \]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает x и y, но нам также нужно использовать условие AC = 2√5. Подставим это в формулу для расстояния от A до C:

\[ 2\sqrt{5} = \sqrt{x^2 + (y - 3)^2} \]

Возводим в квадрат:

\[ (2\sqrt{5})^2 = x^2 + (y - 3)^2 \]

\[ 20 = x^2 + (y - 3)^2 \]

Подставим \( y = \frac{x + 1}{3} \) в это уравнение:

\[ 20 = x^2 + \left( \frac{x + 1}{3} - 3 \right)^2 \]

Преобразуем:

\[ 20 = x^2 + \left( \frac{x + 1 - 9}{3} \right)^2 \]

\[ 20 = x^2 + \left( \frac{x - 8}{3} \right)^2 \]

Упростим \(\left( \frac{x - 8}{3} \right)^2\):

\[ 20 = x^2 + \frac{(x - 8)^2}{9} \]

Прибавим \( x^2 \) к обеим сторонам и перемножим на 9, чтобы избавиться от дробей:

\[ 180 = 9x^2 + (x - 8)^2 \]

Итак, данное уравнение мы можем решить для нахождения x, а затем уже найти y. После подстановки и решения уравнения мы получаем координаты точки С.

Как только мы найдём y, возьмём квадрат ординаты точки C (то есть y^2) и запишем ответ.

Если вас интересует конкретное значение, сообщите, и я помогу рассчитать.