Выбирается случайное натуральное число от 1 до 12. Рассмотрим следующие события: A — выбрано число, кратное 3; B — выбрано чётное число. Найдите P(A∩B). Найдите P(A)⋅P(B).…

Сначала определим все числа от 1 до 12. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Всего 12 чисел.

Теперь определим события A и B.

• Событие A (выбрано число, кратное 3): числа 3, 6, 9, 12. Количество чисел в A: |A| = 4.
• Событие B (выбрано чётное число): числа 2, 4, 6, 8, 10, 12. Количество чисел в B: |B| = 6.

Теперь найдем пересечение событий A и B (событие A∩B: числа, которые кратны 3 и являются чётными):

• Чётные числа, кратные 3: 6, 12. Количество таких чисел: |A∩B| = 2.

Теперь можем найти вероятности:

1. Вероятность события A: \[ P(A) = \frac{|A|}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}. \]

2. Вероятность события B: \[ P(B) = \frac{|B|}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \]

3. Вероятность события A∩B: \[ P(A∩B) = \frac{|A∩B|}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}. \]

Теперь найдем произведение вероятностей P(A) и P(B): \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}. \]

Теперь сравним P(A∩B) и P(A)⋅P(B):

• P(A∩B) = \(\frac{1}{6}\)
• P(A) ⋅ P(B) = \(\frac{1}{6}\)

Поскольку P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B), события A и B являются независимыми.

Таким образом, ответы на ваши вопросы:

• \( P(A∩B) = \frac{1}{6} \)
• \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \)
• События A и B независимы.