Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b . a {4; 4; 4}, b {0; 2; 8}.

Чтобы найти длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), сначала нам нужно вычислить сами диагонали. Диагонали параллелограмма можно выразить через векторы:

1. Первая диагональ: \(\mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b}\)
2. Вторая диагональ: \(\mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b}\)

Шаг 1: Найдем диагонали

Даны векторы:

\[ \mathbf{a} = \{4; -4; -4\}, \quad \mathbf{b} = \{0; -2; -8\} \]

Теперь вычислим каждую диагональ.

1. Первая диагональ: \[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = \{4 + 0; -4 - 2; -4 - 8\} = \{4; -6; -12\} \]

2. Вторая диагональ: \[ \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = \{4 - 0; -4 + 2; -4 + 8\} = \{4; -2; 4\} \]

Шаг 2: Длина диагоналей

Длину вектора можно найти с помощью формулы: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]

Теперь находим длины диагоналей.

1. Длина первой диагонали \(\mathbf{d_1}\): \[ |\mathbf{d_1}| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 \]

2. Длина второй диагонали \(\mathbf{d_2}\): \[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]

Шаг 3: Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), можно найти с помощью векторного произведения:

\[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \]

Сначала найдем векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\):

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -4 & -4 \\ 0 & -2 & -8 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -4 & -4 \\ -2 & -8 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -8 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определители:

1. Для \(\mathbf{i}\): \[ \begin{vmatrix} -4 & -4 \\ -2 & -8 \end{vmatrix} = (-4)(-8) - (-4)(-2) = 32 - 8 = 24 \]

2. Для \(\mathbf{j}\): \[ \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -8 \end{vmatrix} = (4)(-8) - (-4)(0) = -32 \]

3. Для \(\mathbf{k}\): \[ \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = (4)(-2) - (-4)(0) = -8 \]

Подставляем обратно:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 24\mathbf{i} + 32\mathbf{j} - 8\mathbf{k} = \{24; 32; -8\} \]

Теперь найдем длину векторного произведения:

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{24^2 + 32^2 + (-8)^2} = \sqrt{576 + 1024 + 64} = \sqrt{1664} \]

Упрощая, получаем:

\[ \sqrt{1664} = 4\sqrt{104} = 8\sqrt{26} \]

Итог

• Длина первой диагонали: \( 14 \)
• Длина второй диагонали: \( 6 \)
• Площадь параллелограмма: \( 8\sqrt{26} \)