Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. вектор a {4;-4;-4}, вектор b {0; -2; -8}.

Question 1

Задача Задача №2374017

А

Аноним

29 ноября 2024 09:28 · публичный вопрос

А

Аноним 29 ноября 2024 09:28

Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. вектор a {4;-4;-4}, вектор b {0; -2; -8}.

Answer

Для вычисления длин диагоналей и площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, нам сначала нужно определить эти векторы и их длины.

Векторы: \[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix} \]

1. Длина векторов

Длина вектора \(\mathbf{v} = (x, y, z)\) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Для вектора \(\mathbf{a}\): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

Для вектора \(\mathbf{b}\): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{0 + 4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]

2. Длину диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), можно вычислить как:

первая диагональ: \(\mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b}\)
вторая диагональ: \(\mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b}\)

Таким образом, вычисляем \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\):

\[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ -12 \end{pmatrix} \] \[ \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Теперь находим длины диагоналей:

Для \(\mathbf{d_1}\): \[ |\mathbf{d_1}| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 \]

Для \(\mathbf{d_2}\): \[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]

3. Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), вычисляется как длина вектора произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Сначала вычислим векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\):

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -4 & -4 \\ 0 & -2 & -8 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-8) - (-4)(-2)) - \mathbf{j}((4)(-8) - (-4)(0)) + \mathbf{k}((4)(-2) - (-4)(0)) \]

Это даёт: \[ \mathbf{i}(32 - 8) - \mathbf{j}(-32 - 0) + \mathbf{k}(-8 - 0) = 24\mathbf{i} + 32\mathbf{j} - 8\mathbf{k} \] То есть: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 24 \\ 32 \\ -8 \end{pmatrix} \]

Теперь находим длину этого вектора для расчёта площади:

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{24^2 + 32^2 + (-8)^2} = \sqrt{576 + 1024 + 64} = \sqrt{1664} = 4\sqrt{104} = 8\sqrt{26} \]

Площадь параллелограмма: \[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 8\sqrt{26} \]

Итоговые результаты

Длина первой диагонали: \(14\)
Длина второй диагонали: \(6\)
Площадь параллелограмма: \(8\sqrt{26}\)

Question 2

Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. вектор a {4;-4;-4}, вектор b {0; -2; -8}.

Answer

Для вычисления длин диагоналей и площади параллелограмма, построенного на векторах **a** и **b**, нам сначала нужно определить эти векторы и их длины. Векторы: \[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix} \] ### 1. Длина векторов Длина вектора \(\mathbf{v} = (x, y, z)\) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Для вектора \(\mathbf{a}\): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \] Для вектора \(\mathbf{b}\): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{0 + 4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \] ### 2. Длину диагоналей параллелограмма Диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), можно вычислить как: - первая диагональ: \(\mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b}\) - вторая диагональ: \(\mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b}\) Таким образом, вычисляем \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\): \[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ -12 \end{pmatrix} \] \[ \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \] Теперь находим длины диагоналей: Для \(\mathbf{d_1}\): \[ |\mathbf{d_1}| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 \] Для \(\mathbf{d_2}\): \[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \] ### 3. Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), вычисляется как длина вектора произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Сначала вычислим векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\): \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -4 & -4 \\ 0 & -2 & -8 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-8) - (-4)(-2)) - \mathbf{j}((4)(-8) - (-4)(0)) + \mathbf{k}((4)(-2) - (-4)(0)) \] Это даёт: \[ \mathbf{i}(32 - 8) - \mathbf{j}(-32 - 0) + \mathbf{k}(-8 - 0) = 24\mathbf{i} + 32\mathbf{j} - 8\mathbf{k} \] То есть: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 24 \\ 32 \\ -8 \end{pmatrix} \] Теперь находим длину этого вектора для расчёта площади: \[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{24^2 + 32^2 + (-8)^2} = \sqrt{576 + 1024 + 64} = \sqrt{1664} = 4\sqrt{104} = 8\sqrt{26} \] Площадь параллелограмма: \[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 8\sqrt{26} \] ### Итоговые результаты - Длина первой диагонали: \(14\) - Длина второй диагонали: \(6\) - Площадь параллелограмма: \(8\sqrt{26}\)