Определите, чему равна площадь прямоугольника KLMN, если KL : LM = 12 : 4, а периметр прямоугольника KLMN равен 128 см.

Чтобы найти площадь прямоугольника KLMN, начнем с анализа данных в задаче. Нам даны отношения сторон KL и LM, а также периметр прямоугольника.

1. Обозначим длину KL как \( a \) и длину LM как \( b \).

2. По условию \( \frac{KL}{LM} = \frac{12}{4} \), это можно упростить до \( \frac{a}{b} = \frac{3}{1} \). Таким образом, можно выразить \( a \) через \( b \): \( a = 3b \).

3. Периметр прямоугольника KLMN формула: \( P = 2(a + b) \). По условию \( P = 128 \) см, значит: \[ 2(a + b) = 128. \] Упростим это уравнение: \[ a + b = 64. \]

4. Подставим выражение \( a = 3b \) в уравнение для периметра: \[ 3b + b = 64, \] что упрощается до: \[ 4b = 64. \] Теперь найдём \( b \): \[ b = \frac{64}{4} = 16 \text{ см}. \]

5. Подставим значение \( b \) в уравнение \( a = 3b \): \[ a = 3 \times 16 = 48 \text{ см}. \]

6. Теперь мы знаем длины сторон: \( KL = a = 48 \text{ см} \) и \( LM = b = 16 \text{ см} \).

7. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S = a \times b \): \[ S = 48 \times 16. \] Чтобы вычислить \( 48 \times 16 \), можно воспользоваться разложением: \[ 48 \times 16 = 768 \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь прямоугольника KLMN равна 768 см².